2019年向量及其线性运算25519.ppt

2019/4/8 1 第八章 空间解析几何与向量代数 （ Space Analytic Geometry & Vector Algebra ） 数量关系 — 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中 : 空间形式 — 点 , 线 , 面 基本方法 — 坐标法，向量法 坐标 , 方程（组） 2019/4/8 2 主 要 内 容 第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 * 混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 2019/4/8 3 第一节 向量及其线性运算 第八章 （ Vector and Its Linear Operation ） 四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 2019/4/8 4 一、向量概念 ( Concept of Vector ) 表示法 : 向量的模 : 向量的大小 , 向量 : ( 又称 矢量 ). 1 M 2 M 既有 大小 , 又有 方向 的量称为向量 向径 ( 矢径 ): 自由向量 : 与起点无关的向量 . 起点为原点的向量 . 单位向量 : 模为 1 的向量 , 零向量 : 模为 0 的向量 , 有向线段 M 1 M 2 , 或 a , 2019/4/8 5 规定 : 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b 大小相等 , 方向相同 , 则称 a 与 b 相等 , 记作 a ＝ b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反 , 则称 a 与 b 平行 , a ∥ b ; 与 a 的模相同 , 但方向相反的向量称为 a 的 负向量 , 记作 因平行向量可平移到同一直线上 , 故 两向量平行又称 两向量 共线 . 若 k (≥3) 个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量 共面 . 记作－ a ; 2019/4/8 6 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则 : 平行四边形法则 : 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . a b b a ? ? ? c b a ? ? ) ( ) ( c b a ? ? ? c b a ? ? ? c b a ? c b ? ) ( c b a ? ? b a ? b a ? （ Vectors' Linear Operation ） 2019/4/8 7 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 2019/4/8 8 三角不等式 a 2. 向量的减法 2019/4/8 9 ? 是一个数 , 规定 : ; 1 a a ? ? ? 可见 ; 1 a a ? ? ? ? ? ? 与 a 的乘积是一个新向量 , 记作 总之 : 运算律 : 结合律 ) ( a ? ? ? ) ( a ? ? ? ? a ? ? ? ? 分配律 ) ( b a ? ? ? ? b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? a 则有单位向量 因此 3. 向量与数的乘法 2019/4/8 10 设 a 为非零向量 , 则 ( ? 为唯一实数 ) 证 : “ ”. , 取 ? ＝± 且 再证数 ? 的唯一性 . 则 , 0 ? ? ? ? 故 . ? ? ? 即 a ∥ b 设 a ∥ b 取正号 , 反向时取负号 , , a , b 同向时 则 b 与 ? a 同向 , 设又有 b ＝ ? a , 0 ) ( ? ? a ? ? ? b ? . a b ? ? 故 定理 1 2019/4/8 11 “ ” 则 例 1 设 M 为 M B A C D 解 : ABCD 对角线的交点 , b a AC MA 2 ? ? BD MB 2 ? ? 已知 b ＝ ?