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2019年中国科学技术大学创新班笔试数学真题
【天科教育研究院】
一、填空题 （每小题5分，共40分，结果须化简）
x
1. 双曲线y 2x 的离心率为_____.
3
2. 平面区域x2y 3x4y 5的面积为_____.
3. 平面与正八面体相交，截口多边形边数的最大值为_____.
4. 设 是 的外心， ，则 _____.
O ABC tanBAC
4OA5OB 6OC 0
5. 设曲线 3 3 关于直线y kxb对称，则k,b _____.
x1 y 1 1
2 2
6. 设x 3cos t ,y 4cos t ,t是参数，则 的最大值为_____.
x y
3 6
7. 设x ,x ,x ,x N .若x x x 1 i j k 4 18,36,54，求
1 2 3 4 i j k
x x x x
1 2 3 4 _____.
2020
k
2 z _____.
8. 设复数z cos isin ，其中 ,i是虚数单位，则 k 1
2019 k与2019互素
4 4 1
f x
二、 （20分）设x 0,2 .求函数 2 的取值范围.
5x 13x 3x
1,2,,n x ,x ,,x . x i i x ,x ,,x
三、（20分）随机选取 的一个排列 1 2 n 若 i ，则 称为排列 1 2 n
x ,x ,,x X . X
的一个不动点.排列 的不动点个数记作随机变量 求 的数学期望.
1 2 n n 6
n 2, n a, n
四、 （20分）设正整数 并且对于所有与 互数的整数 都有a amodn.
n n n
证明： （1） 无平方因子； （2）若 的素因子个数不
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