2019年用二分法求方程的近似解47958.ppt

1 3.1.2 用二分法 求方程的近似解 复习思考 ： 1. 函数的零点 2. 零点存在的判定 3. 方程实数根个数的求法 ? 使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点 ( ) 0 ( ) ( ) f x y f x x y f x ? ? ? ? ? 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点 ( ) [ , ] f x a b ? 如果函数 y= 在区间 上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0, 那么，函数 y=f(x) 在区间（ a,b ）内有零点， 即存在 c (a,b), 使得 f(c)=0, 这个 c 也就是 方程 f(x)=0 的根 . ( ) 0 ( ) ( ) f x y f x x y f x ? ? ? ? ? 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点 思考问题： 2 (1) 2 6 0 x x ? ? ? 判断所给方程的实数根个数并求出实数根 2 3 7 x x ? ? (2) 借助计算器或计算机求方程 2 x +3x=7 的近似解（精确度 0.1 ） 解：原方程即 2 x +3x=7 ，令 f(x)= 2 x +3x-7 ，用计算 器作出函数 f(x)= 2 x +3x-7 的对应值表如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 因为 f(1)· f(2)0 所以 f(x)= 2x+3x-7 在（ 1 ， 2 ）内有零点 因为 f(1)· f(2)0 所以 f(x)= 2 x +3x-7 在（ 1 ， 2 ）内有零点 x 0 , 取（ 1 ， 2 ）的中点 x 1 =1.5 ， f(1.5)= 0.33 ， 因为 f(1)· f(1.5)0 所以 x 0 ∈（ 1 ， 1.5 ） 取（ 1 ， 1.5 ）的中点 x 2 =1.25 ,f(1.25)= - 0.87 ， 因为 f(1.25)· f(1.5)0 ，所以 x 0 ∈（ 1.25 ， 1.5 ） 同理可得， x 0 ∈（ 1.375 ， 1.5 ）， x 0 ∈ （ 1.375 ， 1.4375 ）， 由于 |1.375-1.4375|=0.0625 〈 0.1 所以，原方程的近似解可取为 1.4375 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 （ 1 ， 2 ） 1.5 0.33 （ 1 ， 1.5 ） 1.25 -0.87 （ 1.25 ， 1.5 ） 1.375 （ 1.375 ， 1.4375 ） 借助计算器或计算机求方程 2 x +3x=7 的近似解（精确度 0.1 ） 解：令 f(x)= 2 x +3x-7, 因为 f(1)= -2 ， f(2)= 3 ， f(1) · f(2 0 所以函数 f(x) 在区间（ 1 ， 2 ）内有零点。 因为 |1.375-1.4375|=0.0625 〈 0.1 ，所以原方程的近似解可 取为 1.4375 二分法概念 对于在区间 [a,b] 上 连续不断 且 的函 数 , 通过不断地把函数 的零点所在的区 间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近零点 , 进而得到 零点近似值的方法叫做二分法 (bisection). ? ? ? ? 0 f a f b ? ? ? ? y f x ? ? ? f x x y 0 a b 用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤如下： 1 、 确定区间 [a,b] ，验证 f(a).f(b)0, 给定精确度 ε ； 2 、求区间（ a,b ）的中点 x 1 ， 3 、计算 f(x 1 ) （ 1 ）若 f(x 1 )=0 ，则 x 1 就是函数的零点； （ 2 ）若 f(a).f(x 1 )0 ，则令 b= x 1 （此时零点 x 0 ∈ (a, x 1 ) ); （ 3 ）若 f(x 1 ).f(b)0 ，则令 a= x 1 （此时零点 x 0 ∈ ( x 1, ,b)); 4 、判断是否达到精确度 ε ，即若 |a-b| ε ，则得到零点近似值 a( 或 b),