(完整版)专题——中点的妙用(初三数学).docx

方法专题：中点的妙用 联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到 中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。 看到中点该想到什么？ 1、 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质； 2、 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”； 3、 三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”； 4、 两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全 等三角形）； 5、 有中点时常构造垂直平分线； 6、 有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 7、 倍长中线 8、 圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 中点辅助线模型 一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一” 的性质 1、如图 1 所示，在△ ABC 中，AB=AC=5 , BC=6，点 为BC中点， 6 A .- 5 MN丄AC于点 9 B.- 5 N，贝U MN等于（ 12 C. 5 : ) 16 D.— 5 图1 二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想 斜边的一半” 2、如图，在Rt" ABC 中，/ A=90 ° “斜边上的中线, ,AC=AB,M 、N AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△ OMN的形状, 明理由? 分别在 N 3、如图，正方形ABCD的边长为2,将长为 2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动. 果点Q从点A出发，沿图中所示方向按 A BCD A滑动到点A为止，同时点F从点 发，沿图中所示方向按 B C D A B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中 点M所经过的路线围成的图形的面积为（ A. 2 B. 4 — C. D. 1 第8题图 PAGE PAGE # C C 三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理） 如图，已知四边形 ABCD的对角线AC与BD相交于点0,且AC=BD， M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F你能说出 0E与0F的大小关系并加以证明吗？ 5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理） 如图所示，在三角形 ABC中，AD是三角形 ABC / BAC的角平 分线，BD丄AD，点D是垂足，点 E是边BC的中点，如果 AB=6,AC=14，求 DE 的长 6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理） 如图所示，AB // CD , BC // AD , DE 丄 BE , DF=EF，甲从 B 出发, 沿着BA、AD、DF的方向运动，乙 B出发，沿着 BC、CE、EF的方向 运动，如果两人的速度是相同的， 且同时从B出发，则谁先到达F点？ 7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题） 如图，等腰梯形 ABCD中，CD // AB，对角线 AC、BD相交于点 0, ACD 60，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点. 求证：△ SPQ是等边三角形。 四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时, 常联想“八字型”全等三角形） D图6-18、如图：梯形 ABCD中, Z A=90° ,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3, E为AB中点，求证：DEI EC D 图6-1 9、如图甲，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF （ CG > BC）中，点 B、C、G在同一直线上， M是 AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明； （2）将图甲中的正方形 CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形 CGEF的对角线CE恰好与正方形 ABCD 的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你 的猜想并加以证明 F五、有中点时常构造垂直平分线110、如图所示，在厶ABC中， F 五、有中点时常构造垂直平分线 1 10、如图所示，在厶ABC中，AD是BC边上中线，/ C=2 / B.AC= 2 BC。 求证：△ ADC为等边三角形。 六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积） 11、（ 1）探索：已知 ABC的面积为a , 如图1,延长 ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若 ACD的面积为S1，则3 = （用含a的代数式表示） 如图2,延长 ABC的边BC到点D,延长边CA到点E，使 CD=BC , AE=CA，连接DE,若 DEC的面积为S2，则S2= （用 含a的代数式表示） 在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB连接FD, FE,得到 DEF （如图3）,若阴影部分的面积为 S3 , S3 = （用含