2020版高考数学大二轮复习81坐标系与参数方程课件文.ppt

考点 1 极坐标 1 ． 极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为 (x ， y) ，极坐标为 (ρ ， θ) ．由图可知下面的关系式成立： ? ? ? ? ? x ＝ ρ cos θ y ＝ ρ sin θ 或 ? ? ? ? ? ρ 2 ＝ x 2 ＋ y 2 tan θ ＝ y x ? x ≠ 0 ? . 顺便指出，上式对 ρ0 也成立． 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 2 ． 圆的极坐标方程 (1) 圆心在极点，半径为 R 的圆的极坐标方程为 ρ ＝ R. (2) 圆心在极轴上的点 (a,0) 处， 且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ ＝ 2a cos θ. (3) 圆心在点 ? ? ? ? ? ? a ， π 2 处且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ ＝ 2a sin θ. [ 例 1] [2019· 全国卷 Ⅲ ][ 选修 4 — 4 ：坐标系与参数方程 ] 如图， 在极坐标系 Ox 中， A(2,0) ， B ? ? ? ? ? ? 2 ， π 4 ， C ? ? ? ? ? ? 2 ， 3 π 4 ， D(2 ， π ) ，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是 (1,0) ， ? ? ? ? ? ? 1 ， π 2 ， (1 ， π ) ，曲 线 M 1 是弧 AB ，曲线 M 2 是弧 BC ，曲线 M 3 是弧 CD . (1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程； (2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成， 若点 P 在 M 上， 且 |OP| ＝ 3 ， 求 P 的极坐标． 【解析】 本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思 想，考查的核心素养是直观想象、数学运算． (1) 由题设可得，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的极坐标方程分别为 ρ ＝ 2 cos θ ， ρ ＝ 2 sin θ ， ρ ＝－ 2 cos θ. 所以 M 1 的极坐标方程为 ρ ＝ 2 cos θ ? ? ? ? ? ? 0 ≤ θ ≤ π 4 ， M 2 的极坐标方程为 ρ ＝ 2 sin θ ? ? ? ? ? ? π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4 ， M 3 的极坐标方程为 ρ ＝－ 2 cos θ ? ? ? ? ? ? 3 π 4 ≤ θ ≤ π . (2) 设 P(ρ ， θ) ，由题设及 (1) 知： 若 0 ≤ θ ≤ π 4 ，则 2 cos θ ＝ 3 ，解得 θ ＝ π 6 ； 若 π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4 ，则 2 sin θ ＝ 3 ，解得 θ ＝ π 3 或 θ ＝ 2 π 3 ； 若 3 π 4 ≤ θ ≤ π ，则－ 2 cos θ ＝ 3 ，解得 θ ＝ 5 π 6 . 综上， P 的极坐标为 ? ? ? ? ? ? 3 ， π 6 或 ? ? ? ? ? ? 3 ， π 3 或 ? ? ? ? ? ? 3 ， 2 π 3 或 ? ? ? ? ? ? 3 ， 5 π 6 . (1) 把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法 ( 极角相 差 2 π 的整数倍 ) ，一般取 θ ∈ [0,2 π ) ． (2) 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公 式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系 的情境 . 『对接训练』 1 ． [2019· 全国卷 Ⅱ ][ 选修 4 － 4 ：坐标系与参数方程 ] 在极坐标系中， O 为极点，点 M(ρ 0 ， θ 0 )(ρ 0 0) 在曲线 C ： ρ ＝ 4 sin θ 上，直线 l 过点 A(4,0) 且与 OM 垂直，垂足为 P. (1) 当 θ 0 ＝ π 3 时，求 ρ 0 及 l 的极坐标方程； (2) 当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐 标方程． 解析： 本题主要考查直线的极坐标方程、轨迹方程的求解，意 在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻 辑推理、数学运算． (1) 因为 M(ρ 0 ， θ 0 ) 在 C 上，当 θ 0 ＝ π 3 时， ρ 0 ＝ 4 sin π 3 ＝ 2 3. 由已知得 |OP| ＝ |OA| cos π 3 ＝ 2. 设 Q(ρ ， θ) 为 l 上除 P 的任意一点．连接 OQ ， 在 Rt △ OPQ 中， ρ cos ? ? ? ? ? ? θ － π 3 ＝ |OP| ＝ 2. 经检验，点 P ? ? ? ? ? ? 2