平面向量与三角形四心问题.docx

平面向量与三角形四心问题 平面向量基本定理与三角形四心 已知O是ABC内的一点，BOC, AOC, AOB的面积分别 为 Sa， Sb， Sc，求证： S ?OA Sb ?OB Sc ?OC 0 如图D则2 如图 D则 2延长OA与BC边相交于点 BDDCS BD DC S ABD S BOD S ABD S bod S ACD S COD SaCD S COD SC Sb 图OCSC邑 图 OC SC 邑 OB Sb Sc Sb Sc OC OD S OD Sbod OA Sboa SCOD SCOA SBOD SCOD Sa SBOA SCOA SB SC OD —S OD — Sb Sc OA SB SCOASb SB SC OA Sb SB SC OB Sc Sb Sc OC ■ ■ ■ + Sa?OA Sb?OB Sc ?OC 0 推论o是 abc内的一点，且 x?oA y?oB z?oC 0 , 则 S boc : S coa : S aob x: y: z 有此定理可得三角形四心向量式 0是ABC的重心 S B0C : S coa : S aob 1:1:1 0A Ob Oc 0 0是ABC的内心 ? -K S boc : S coa : S aob a:b:c a ?0A b?0B c?0C 0 0是ABC的外心 S boc ：S coa :S aob sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin 2B?OB sin2C?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S aob tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tanC ?OC 0 B如图O为 B 如图O为 角形的垂心， tanACD ,tanB tanA CD ,tanB CD tan A: tanB AD DB DB: AD S BOC S BOC :S coa DB : AD S boc : S coa tan A:tan B ， S BOC : S AOB tan A: tanC同理得 ， S BOC : S AOB tan A: tanC S boc : S coa : S aob tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 4.2三角形“四心”的相关向量问题 ?知识梳理: 四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2: 1； （2）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； ⑶内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）， 角平分线上的任意点到角两边的距离相等； ⑷ 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外 心到三角形各顶点的距离相等。 与“重心”有关的向量问题 1 已知G是△ ABC所在平面上的一点，若 GA GB GC o，则 g 是厶 abc 的（ A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心 如图⑴.A图O2已知o是平面上一定点， 的三个点，动点 如图⑴. A 图 O 2已知o是平面上一定点， 的三个点，动点p满足O A B，C是平面上不共线 uuu uuu uuur OA (AB AC)， (0,)， 则P的轨迹一定通过△ ABC的（）. A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心 【解析】由题意AP （AB AC）,当（°,）时，由于 3 .0是厶ABC所在平面内一点，动点P满足= （: 止AC（AB AC）表示 3 .0是厶ABC所在平面内一点，动点P满足= （: 止 AC | AB|ginB 丘 TOC \o 1-5 \h \z （入€（ 0, +x））,则动点P的轨迹一定通过厶ABCB（ ） A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心 解：作出如图的图形 AD丄BQ由于|!§|sinB=|正|sinC=AD, I ■ —* AC X —* —* ??? OP二皿（ 一4严牛一）=曲切^（扭+抗） | AB | sinB | AC | sinC 1 由加法法则知，P在三角形的中线上 故动点P的轨迹一定通过厶ABC的重心 故选：B. 与“垂心”有关的向量问题 3 P是^ ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA， 则P是厶ABC的（） A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心 ■ 刀丄uur uuu uuu ULW Ztt ULUl ULU ULU 口仃 UUU ULICI 【解析】由 PA PB PB PC，得 PB （PA PC） 0，即 PB CA 0， 二 P 是 二 P 是△ ABC 所以PB丄CA ?同理可证 PC丄AB， PA丄BC . 的垂心.如图⑶ BftCPCB4已知。是平面上一定点，A B,图C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OUU-uuu-uutrABcosB