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平面向量数量积的物理背景及 其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
教学目标
1平面向量的数量积.
1平面向量的数量积.
(重点)
平面向量的数量积的几何意义.(难点)
向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)
[基础初探]
教材整理1向量数量积的定义及性质
阅读教材Pl03~ Pl04 “例1”以上内容,完成下列问题.
向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为B,我们把数量|a||b|co
丄叫做 a与 b的数量积(或内积),记作 a b, 即卩a b= |a||b|cos B .
规定零向量与任一向量的数量积为 0.
向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量,。为a与b的夹角.
(1) a 丄 b? a b= 0.
(2) 当 a 与 b 同向时,a b= la||bl:
当a与b反向时,a b=- |a||b|.
(3) a a= |a|2 或 |a|= _ a a= a2.
⑷cos 9 =歸
(5)|a b|< |a||b|.
判断(正确的打“,错误的打“x” )
(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.()
TOC \o "1-5" \h \z 两个向量的数量积是向量.( )
设向量a与b的夹角为0,贝心cos 6 >0? a b>0.( )
解:(1)x .因向量的夹角包括180°,直线的倾斜角不包括180°.
X .因两个向量的数量积没有方向,不是向量.
V .由数量积的定义可知.
【答案】(1) X (2)X ⑶V
教材整理2向量的数量积的几何意义及运算律
阅读教材Pl04例1以下至Pl05例2以上内容,完成下列问题.
1 .向量的数量积的几何意义
投影的概念
如图2-4- 1所示:OA = a, OB = b,过B作BB1垂直于直线 OA,垂足为 B1,贝卩 OB1= Iblcos 0 .
Iblcos 0叫做向量b在a方向上的投影,|a|cos 0叫做向量a在 b方向上的投影.
It
1
a
L 一
打
廿1 4
A
0 0
图 2-4-1
数量积的几何意义:
a b的几何意义是数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上
的投影|blcos 0的乘积.
2.向量数量积的运算律
a b= b_a(交换律).
(砂?= Ka b)= a ( Q(结合律).
(a + b) c= a c + b c(分配律).
n
已知|a| = 3,向量a与b的夹角为—,则a在b方向上的投影为
n 3
解:向量a在b方向上的投影为|a|cos 9= 3x cos —=q.
3
【答案】3
[小组合作型]
与向量数量积有关的概念
卜例E1 (1)以下四种说法中正确的是 .
如果a b= 0,则a= 0或b= 0;
如果向量a与b满足a b<0,则a与b所成的角为钝角;
厶ABC中,如果- BC = 0,那么△ ABC为直角三角形;
如果向量a与b是两个单位向量,则a2= b2.
已知|a| = 3, |b= 5,且a b=— 12,则a在b方向上的投影为
,b在a方向上的投影为 .
已知等腰厶ABC的底边BC长为4,则BA - BC = .
根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.
解:(1)由数量积的定义知a b=|a||b|cos 9( 9为向量a,b的夹角).
若a b = 0,贝卩9= 90°或3= 0或b= 0,故①错;
若a b<0,则9为钝角或9= 180°,故②错;
由aB BC = 0知B = 90°,故^ ABC为直角三角形,故③正确;
由 a2= |a|2 = 1, b2= |b|2= 1,故④正确.
⑵设a与b的夹角为B,则有
a b= |a| |b|cos 6=— 12,
a b —12
125 ;所以向量a在向量b方向上的投影为|a| cos e=~^ =—亍: a b
12
5 ;
向量b在向量a方向上的投影为|b| cos 8=面 =_^ = — 4.
⑶如图,过A作AD丄BC,垂足为D.
1
B 1
? C
因为AB = AC,
1
所以BD =尹C = 2,
于是 |BA|cos6BC = |BD|
1 1 =2|BC|=2x 4=2.
所以BA BC
=|BA||BC|coszABC = 4X 2= 8.
12 【答案】(1)③④(2) — -5- — 4 (3)8
在书写数量积时,a与b之间用实心圆点“ ”连接,而不能
X”连接,更不能省略不写.
求平面向量数量积的方法:
(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式 a b=|a||b|cos e
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影,可利用数
量积的几何意义求ab.
[再练一题]
1给出下列判断:①若 a2 + b2 = 0,则a= b = 0;②已知a, b, c是三个非
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