下学期的 4．6 两角和与差的正弦、余弦、正切2.doc

第 PAGE 页码 页码页 / 总共 NUMPAGES 总页数 总页数页 下学期 4．6 两角和与差的正弦、余弦、正切2 4．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第二课时）（一）教学具准备 投影仪（二）教学目标 1．掌握利用 得到的两角和与差的正弦公式． 2．运用 公式进行三角式的求值、化简及证明．（三）教学过程 1．已知 两角，我们可以利用 的三角函数去计算复合角 的余弦，那么，我们能否用 的三角函数去表达复合角 的正弦呢？本节课将研究这一问题．2．探索研究（1）请一位同学在黑板上写出 ， 的展开式． ． 由于公式中的 是任意实数，故我们对 实施特值代换后并不影响等号成立，为此我们曾令 ，得到 ， 两个熟悉的诱导公式，请同学们尝试一下，能否在 中对 选取特殊实数代换，使 诱变成 呢？或者说能否把 改成用余弦函数来表示呢？请同学回答． 生：可以，因为 该同学的思路非常科学，这样就把新问题 问题化归为老问题： ． 事实上： （视“ ”为 ） 这样，我们便得到公式． 简化为 ． 由于公式中的 仍然是一切实数，请同学们再想一下，如何获得 的展开式呢？请同学回答． 生：只要在公式 中用 代替 ，就可得到： 即 师：由此得到两个公式： 对于公式 还可以这样来推导： 说明： （1）上述四个公式 ，虽然形式、结构不同，但它们本质是相同的，因为它们同出一脉： 这样我们只要牢固掌握“中心”公式 的由来及表达方式，就掌握了其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会． （2） 、 是用 的单角函数表达复合角 的正、余弦．反之，我们不得不注意，作为公式的逆用，我们也可以用复合角 的三角函数来表达单角三角函数．诸如： ， ， 及 四种表达式，实质上是方程思想的体现： 由 得： ① 由 得 ② 由 ，得： ③ 由 得： ④ 等式①、②、③、④在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的．（2）例题分析【例1】 不查表，求 ， 的值． 解： 说明：我们也可以用 系统来做： 【例2】已知， ， ， ， 求， ． 分析：观察公式 和本题的条件，必须先算出 ， 解：由 ， 得 又由 ， 得 ∴ 【例3】不查表求值：（1） ；（2） ．解：（1） （2） 练习（投影） （1） ， ，则 ． （2）在△ 中，若 ，则△ 是___________．参考答案：（1）∴ ∴ （2）由 ， ∴ ∴ ， 为钝角，即△ 是钝角三角形．【例4】求证： ． 分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角（即两角和与差）右边全是单角，所以思路明确，就是要把复角变单角． 证明： 左边 右 ∴原式成立 如果我们本着逆用公式来看待本题，那么还可这样想： 由 令 ， 则 ① 至于 我们可这样分析： ∵ 令 得 同理 ∴①可进一步改写为： ∴ ……② 又∵ ……③由②、③得 本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正切函数，故可考虑从右边入手用化弦法，请同学们自己把上面过程反过来，从右边推出左边．【例5】求证： 师：本题我们可以从角的形式来分析，左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角（即利用和角公式）；如果从左边证右边则须配一个角 ，所以本题起码有两种证法． 证法1：右边 左边 ∴原式成立 师：另一种证法根据刚才的分析要配出角 ，怎样配？大家仔细观察证法一就不难发现了． 证法2：（学生板书） 左边 右边 ∴原式成立3．演练反馈（投影）（1）化简 （2）已知 ，则 的值（ ） A．不确定，可在［0、1］内取值 B．不确定，可在［－1、1］中取值 C．确定，等于1 D．确定，等于1或－1参考答案：（1）原式 （2）C4．总结提炼 （1）利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧，如： ， ， ．在三角形中， ， 等变换技巧，同学们应十分熟悉． （2）本节课的例5，代表着一类重要题型，同学们要学习它的凑角方法，一般地 ，其中 ． （3）在恒等式中，实施特值代换，是一类重要的数学方法——母函数法，这种方法在数学的其他学科中，均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辨证统一关系．（四）板书设计 课题：两角和与差的正弦1．公式推导 ① ＝…… 得到公式……… 把公式中 换成 得公式……… 2．公式的结构特点 用单角函数表