定积分基本计算公式优秀.ppt

一 定积分计算的基本公式 设函数 ) ( x f 在区间 ] , [ b a 上连续， 并且设 x 为 ] , [ b a 上的一点， ? x a dx x f ) ( 考察定积分 ? ? x a dt t f ) ( 记 ( ) ( ) . x a x f t dt ? ? ? 积分上限函数 如果上限 x 在区间 ] , [ b a 上任意变动，则对 于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所 以它在 ] , [ b a 上定义了一个函数， § 4. 定积分的计算 1 2020/4/28 a b x y o 定理１ 如果 ) ( x f 在 ] , [ b a 上连续， 则积分上限的函 数 dt t f x x a ? ? ? ) ( ) ( 在 ] , [ b a 上具有导数，且它的导 数是 ) ( ) ( ) ( x f dt t f dx d x x a ? ? ? ? ? ) ( b x a ? ? x x ? ? 证 dt t f x x x x a ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( x x x ? ? ? ? ? ? ?? dt t f dt t f x a x x a ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( x ? x 2 2020/4/28 ? dt t f dt t f dt t f x a x x x x a ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( , ) ( ? ? ? ? x x x dt t f 由积分中值定理得 ( ) , f x ? ?? ? ? x x ? ? ? ? , 0 ), ( ? f x ? ? ?? ) ( lim lim 0 0 ? f x x x ? ? ? ? ? ? ?? ). ( ) ( x f x ? ? ? ? a b x y o x x ? ? ) ( x ? x . x x x ? ? ? 在 与 之间 3 2020/4/28 如果 ) ( t f 连续， ) ( x a 、 ) ( x b 可导，则 dt t f x F x b x a ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( 的导数 ) ( x F ? 为 补充 ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) f b x b x f a x a x ? ? ? ? 证 : ? ? dt t f x F x a x b ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ? ? ? ? dt t f x b ? ? ) ( 0 ) ( , ) ( ) ( 0 dt t f x a ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x a x a f x b x b f x F ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x d F x f t dt dx ? ? ? 4 2020/4/28 例 1 求 . lim 2 1 cos 0 2 x dt e x t x ? ? ? 解 ? ? 1 cos 2 x t dt e dx d , cos 1 2 ? ? ? ? x t dt e dx d ) (cos 2 cos ? ? ? ? ? x e x , sin 2 cos x e x ? ? ? 2 1 cos 0 2 lim x dt e x t x ? ? ? x e x x x 2 sin lim 2 cos 0 ? ? ? ? . 2 1 e ? 0 0 分析： 这是 型不定式，应用洛必达法则 . 5 2020/4/28 例 2 设 ) ( x f 在 ) , ( ?? ?? 内连续，且 0 ) ( ? x f . 证明函数 ? ? ? x x dt t f dt t tf x F 0 0 ) ( ) ( ) ( 在 ) , 0 ( ?? 内为单调增 加函数 . 证 ? x dt t tf dx d 0 ) ( ), ( x xf ? ? x dt t f dx d 0 ) ( ), ( x f ? ? ? 2 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? x x x dt t f dt t tf x f dt t f x xf x F 6 2020/4/28 ? ? , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 0 ? ? ? ? ? x x dt t f dt t f t x x f x F ) 0 ( , 0 ) ( ? ? x x f ? , 0 ) ( 0 ? ? ? x dt t f , 0 ) ( ) ( ? ? t f t x ? , 0 ) ( ) ( 0 ? ? ? ?