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2.周期函数的定义 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 优选 * 可知: 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数,2kπ(k∈Z且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π。 由sin(x+2kπ)=sinx ; cos(x+2kπ)=cosx (k∈Z) 优选 * 注意:(1)周期T为非零常数。 (2)等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。 (3)周期函数f(x)的定义域必为无界数集(至少一端是无界的) (4)周期函数不一定有最小正周期。 举例:f(x)=1(x∈R),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期,但在正实数中无最小值,故不存在最小正周期。 优选 * 的最小正周期 优选 * 例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx; x∈R (2)y=sin2x,x∈R; 3.例题讲解 优选 * 优选 * 优选 * 优选 * 优选 * 例1、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周期函数? 4.周期函数应用 结论:定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)+f(x)=0或f(x+a) =-f(x) 则f(x)是周期为2a的周期函数. 优选 * 例2、已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时,f(x)=x-4,求f(10)的值. 结论:定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)-f(x-b)=0或f(x+a) =f(x-b) 则f(x)是周期为a+b的周期函数. 优选 * y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π y=sinx 优选 * x y O 1 -1 y=cosx 优选 * 奇偶性 一般的,如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 一般的,如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。 优选 * 1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)= - sinx (x?R) y=sinx (x?R) 是奇函数 cos(-x)= cosx (x?R) y=cosx (x?R) 是偶函数 定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性 优选 * 正弦函数的单调性 y=sinx (x?R) x y o -? -1 2? 3? 4? -2? -3? 1 ? x ··· 0 ··· ··· ··· sinx -1 0 1 0 -1 优选 * 余弦函数的单调性 y=cosx (x?R) x ··· ··· 0 ··· ··· cosx -1 0 1 0 -1 y x o -? -1 2? 3? 4? -2? -3? 1 ? 优选 * 单调性 y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ] (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1. y=sinx在每一个闭区间[ +2kπ, +2kπ] (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[ +2kπ, +2kπ] (k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1. 优选 * 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 1.4.2 正、余弦函数的图像和性质 优选 * 1.正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx (x?R) y=cosx (x?R) 定义域 值域 周期性 x?R y?[ - 1, 1 ] T = 2? x y O 1 -1 y=cosx y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π y=sinx 优选 * 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选 优选
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