2020年高考【数学真题·母题揭秘】函数的奇偶性的应用（文）（全国Ⅱ卷）（学生版）.docVIP

2020年高考真题·母题解密 精品资源·备战高考 『高考真题·母题解密』 『高考真题·母题解密』 『分项汇编·逐一击破』  专题10 函数的奇偶性的应用 【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数,则 A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出． 【解析】因为函数定义域为， 其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)= A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知是奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当时，，则，得．故选D． 【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义域为的奇函数，且， 所以， 因此， 因为，所以， 因为，从而． 故选C． 【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 【命题意图】 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】 高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】 1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法 （2）图象法 （3）性质法 利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断． 注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． ③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式 已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数 在定义域关于原点对称的前提下，利用为奇函数，为偶函数，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在处有定义的奇函数，可考虑列式求解． （4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式． 利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函