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2020年高考真题·母题解密
精品资源·备战高考
『高考真题·母题解密』
『高考真题·母题解密』
『分项汇编·逐一击破』
专题11 双曲线及其性质
【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷,理数】设双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义,三角形面积公式,勾股定理,结合离心率公式,即可得出答案.
【详解】,,根据双曲线的定义可得,
,即,
,,
,即,解得,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用,涉及了勾股定理,三角形面积公式的应用,属于中档题.
【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若,则△PFO的面积为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由,
又P在C的一条渐近线上,不妨设为在上,则,
,故选A.
【名师点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积.
【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设是双曲线()的左,右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为
A. B.2
C. D.
【答案】B
【解析】由题可知,∴,
在中,,
∵在中,,
∴,∴,故选C.
【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识,考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用,属于中档题.
【命题意图】高考对双曲线内容的考查以基础知识为主,重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力.高考题以双曲线为载体考查三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.
【命题规律】主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质,其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点,以选择题和填空题为主,难度中等.
【答题模板】
1.求双曲线的离心率的值或范围一般考虑如下三步:
第一步:将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式;
第二步:利用和转化为关于e的方程或不等式;
第三步:通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
2.其他问题:
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c–a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则=,其中θ为∠F1PF2.
(5)若P是双曲线=1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a.
【方法总结】
1.双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线.
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问题.
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:
①距离之差的绝对值;②2a<|F1F2|;③焦点所在坐标轴的位置.
2.求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法
根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:
①c2=a2+b2;
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
求轨迹方程时,满足条件:|PF1|–|PF2|=2a(0<2a<|F1F2|)的双曲线为双曲线的一支,应注意合理取舍.
(2)待定系数法
一般步骤为
①判断:根据已知条件,确定双曲线的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;
②设:根据①中的判断结果,设出所需的未知数或者标准方程;
③列:根据题意,列出关于a,b,c的方程或者方程组;
④解:求解得到方程.
常见设法有
①与双曲线–=1共渐近线的双曲线方程可设为–=λ(λ≠0);
②若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线方程可设为–=λ(λ≠0);
③若双曲线过两个已知点,则双曲线方程可设为+=1(mn<0);
④与双曲线–=1共焦点的双曲线方程可设为–=1(–b2<k<a2);
⑤与椭圆+=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为+=1(b2<λ<a2).
注意:当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:
一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).
3.求双曲线离心率的值
(1)直
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