线面平行面面平行的判定课堂.ppt

1 2 思考： 怎样判定直线与平面平行呢？ 线面平行的判定定理： 平面外的一条直线与 此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号表示为： l ? α ， m ? α ， l ∥ m ? l ∥ α 定理的本质： 3 线面平行的概念 例 1 ：如图 1 ，在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，回答下列问题 : (1) 在图 1 中，哪些线段所在的直线与平面 ADD 1 A 1 平行？ (2) 在图 1 中，哪些平面与 AB 所在的直线平行？ 图 1 解： (1) 在图 2 中，线段 BB 1 、 BC 、 CC 1 、 C 1 B 1 、 BC 1 所在的直线与平面 ADD 1 A 1 平行． (2) 在图 2 中，平面 A 1 B 1 C 1 D 1 、 CC 1 D 1 D 与 AB 所在的直线平行 . 4 证线面平行 例 2 ：已知：空间四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，求证： EF ∥ 平面 BCD . 图 2 证明：如图 2 ，连接 BD . 在△ ABD 中， ∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点， ∴ EF ∥ BD . 又 EF ? 平面 BCD ， BD ? 平面 BCD ， ∴ EF ∥ 平面 BCD . 证线面平行的关键是找线线平行 ( 即在平 面内找到一条直线与该直线平行 ) ．如果已知中点，则可抓住中 位线得到线线平行． 5 1. 如图 3 ， P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， Q 是 PA 的中点．求证： PC ∥ 平面 BDQ . 图 3 证明：连接 AC ，交 BD 于 O ，连接 QO . ∵ ABCD 为平行四边形， ∴ O 为 AC 的中点． 又 Q 为 PA 的中点， ∴ QO ∥ PC . 显然， QO ? 平面 BDQ ， PC ? 平面 BDQ ， ∴ PC ∥ 平面 BDQ . 6 证明：如图 4 ， 在△ ABC 中， E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点， ∴ AC ∥ EF ， AC ? 平面 EFG ， EF ? 平面 EFG . 于是 AC ∥ 平面 EFG . 同理可证， BD ∥ 平面 EFG . 图 4 2. 已知 AB 、 BC 、 CD 是不在同一个平面内的三条线段， E 、 F 、 G 分别是 AB 、 BC 、 CD 的中点，求证：平面 EFG 和 AC 平行，也和 BD 平行． 7 面面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 用符号表示为： ? ? ? ? ? a ? β ， b ? β ， a ∩ b ＝ P a ∥ α ， b ∥ α ? β ∥ α . 思考： ? 1. 平面 内有一条直线与平面 平行 , , 平行吗 ? ? ? ? ? 2. 平面 内有两条直线与平面 平行 , , 平行吗 ? ? ? ? 定理的本质： 8 证面面平行 例 3 ：如图 5 ，已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 . 求证：平面 AD 1 B 1 ∥ 平面 C 1 DB . 图 5 证明： ∵ D 1 B 1 ∥ DB ， D 1 B 1 ? 平面 C 1 DB ， DB ? 平面 C 1 DB ， ∴ D 1 B 1 ∥ 平面 C 1 DB ，同理 AB 1 ∥ 平面 C 1 DB ， 又 D 1 B 1 ∩ AB 1 ＝ B 1 ， AB 1 、 D 1 B 1 同在平面 AD 1 B 1 内， ∴ 平面 AD 1 B 1 ∥ 平面 C 1 DB . 9 1. 如图 6 ，在棱长为 a 的正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 、 F 、 G 分别为棱 AA 1 、 A 1 B 1 、 A 1 D 1 的中点． 求证：平面 EFG ∥ 平面 BC 1 D . 图 6 10 证明：如图 7 ，连接 B 1 D 1 ， 图 7 则有 B 1 D 1 ∥ BD . ∵ E 、 F 、 G 分别为 A 1 A 、 A 1 B 1 、 A 1 D 1 的中点， ∴ FG ∥ B 1 D 1 . 则 FG ∥ BD ， ∴ FG ∥ 平面 BC 1 D . 同理 EF ∥ DC 1 . ∴ EF ∥ 平面 BC 1 D . 又 ∵ EF ∩ FG ＝ F ， ∴ 平面 EFG ∥ 平面 BC 1 D . 11 2. 如图 8 ，已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 ， E 、 F 、 G 分别 是 CC 1 、 BC 和 DC 的中点， M 、 N 、 Q