2021高考数学一轮复习《大题规范满分练(一)函数与导数综合问题》.docVIP

PAGE 3 - 大题规范满分练(一) 函数与导数综合问题 1.设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值. (2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1. 【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R, 知f′(x)=ex-2,x∈R. 令f′(x)=0,得x=ln 2. 于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: x (-∞,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ↘ 2-2ln 2+2a ↗ 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2), 单调递增区间是(ln 2,+∞), f(x)在x=ln 2处取得极小值, 极小值为2-2ln 2+2a. (2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当a>ln 2-1时, g′(x)取最小值为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0, 所以g(x)在R上单调递增. 于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞), 都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>0. 即ex-x2+2ax-1>0, 故当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1. 2.设函数f(x)=-kln x,k>0. (1)求f(x)的单调区间和极值. (2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. 【解析】(1)由f(x)=-kln x(k>0), 得x>0且f′(x)=x-=. 由f′(x)=0,解得x=(负值舍去). f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如表: x (0,) (,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ↘ ↗ 所以f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞). f(x)在x=处取得极小值f()=,无极大值. (2)由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=. 因为f(x)存在零点,所以≤0, 从而k≥e. 当k=e时,f(x)在区间(1,]上单调递减, 且f()=0, 所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点. 当k>e时,f(x)在区间(0,]上单调递减, 且f(1)=>0,f()=<0, 所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. 综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.