数列求和的八种重要方法与例题33809.ppt

数列求和 几种重要的求和思想方法 ： 1. 倒序相加法 . 2. 错位相减法 . 3 . 法： . 4. 裂项相消法： 拆项 倒序相加法 : 如果一个数列 {a n } ， 与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和（都 相等，为定值）， 可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加，就得到 一个常数列的和，这一求和的方法称 为倒序相加法 . 类型 a 1 +a n =a 2 +a n-1 =a 3 +a n-2 =…… 典例 . 已知 lg(xy) 2 ? n n-1 1 n-1 n S =lgx +lg(x ·y)+... +lg(x· y )+lgy , (x 0, y 0) 求 S . Q n n-1 n S =lgx +lg(x · y)+... +lgy n n-1 n S =lg +lg( · x)+... +lg y y x ? n n n 2S =lg +lg +... +lg (xy) (xy) (xy) = 2n(n +1) 2. 倒序相加法 ? S = n(n +1) 2. 错位相减 典例 3: 1+2 × 3+3 × 3 2 +4 × 3 3 +…+ n × 3 n-1 = ？ 当 {a n } 是等差数列， {b n } 是等比数列，求 数列 {a n b n } 的前 n 项和适用 错位相减 通项 错位相减法： 如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列对 应项乘积组成，此时求和可采 用错位相减法 . 既 {a n b n } 型 等差 等比 4 、裂项相消 例 典 4： 1 1 1+ + + … + = ? 1 ×2 2× 1 n(n + 1) 3 变 项 为 1 n( 式1：通 改 n + 2) 变 项 为 2 2 2n 4 2：通 改 n 式 - 1 1 1 1 1 = + （ - ) 2 4 2n -1 2n +1 1 1 1 = ( - ) 2 n n + 2 分裂通项法： 把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这 一求和方法称为分裂通项法 . （ 见到 分式型 的要往这种方法联想 ） 同类性质的数列归于一组，目的 是为便于运用常见数列的求和公式 . 拆项分组求和 : 典例 5 ： 数列 {a n } 的通项 a n =2 n +2n-1 ， 求该数列的前 n 项和 . 分组求和法： 把数列的每一项分成两项，或把数 列的项“集”在一块重新组合，或把整 个数列分成两部分，使其转化为等差或 等比数列，这一求和方法称为分组求和 法 . {a n +b n +c n } 等差 等比 错位相减 或裂项相消 典型 6 ： 1-2 2 +3 2 -4 2 + … +(2n-1) 2 -(2n) 2 = ？ 局部重组转化为常见数列 并项求和 交错数列，并项求和 既 { （ -1 ） n b n } 型 练习 10 ： 已知 S n =-1+3-5+7+ … +(-1) n (2n-1), 1) 求 S 20 ,S 21 2) 求 S n S 20 =-1+3+(- 5)+7+……+ （ -37 ） +39 S 21 =-1+3+(-5)+7+ （ -9 ） +……+39+ （ -41 ） =20 =-21 总的方向： 1. 转化为等差或等比数列的求和 2. 转化为能消项的 思考方式：求和 看通项（怎样的 类型 ） 若无通项，则须 先求出通项 方法及题型： 1. 等差、等比数列用公式法 2. 倒序相加法 5. 拆项分组求和法 4. 裂项相消法 3. 错位相减法 6. 并项求和法 深化数列中的数学思想方法： 热点题型 1 ：递归数列与极限 . 设数列 {a n } 的首项 a 1 =a≠ ，且 , 记 ， n ＝ l ， 2 ， 3 ， … · ． （ I ）求 a 2 ， a 3 ；（ II ）判断数列 {b n } 是否为等比数列， 并证明你的结论； （ III ）求 ． 4 1 1 1 2 1 4 n n n a n a a n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为偶数 为奇数 2 1 1 4 n n b a ? ? ? 1 2 3 lim( ) n n b b b b ?? ? ? ? ? L （ I ） a 2 ＝ a 1 + = a + ， a 3 = a 2 = a + 4 1 4 1 2 1 2 1 8 1 热点题型 1 ：递归数列与极限 . 设数列 { a n } 的首项 a 1 = a ≠ ，且 , 记 ， n ＝ l ， 2 ， 3 ， … · ． （ I ）求 a 2