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《九年级上半期专题课 —— 角度问题中的辅助圆构造》教案
科 目 数学 课题 专题:构造辅助圆
教 师 周韧 班级 初三( 15)班 时间 2016.11.10
在本节专题课前 ,学生已经完整学习了圆的所有基本知识 ,掌握了圆的有关性质 ,而角度问
题是初中数学压轴题中一类比较困难的题型,本学段的学生对于直线形中常见的几何问
题形成了一些基本的解题策略 ,而利用辅助圆进行角度的转化是优于其他方式的,所以从 学情分析
这个新的视角解决角度问题需要我们帮助学生进行归纳总结提升 ,而本节课想要达到的
目的,就是引导学生学会发现模型 ,利用模型构造辅助圆, 并初步形成构造曲线形辅助线的
意识.
1、进一步巩固圆的定义和性质以及圆周角定理;
2、感受利用辅助圆解决角度问题的优势;
教学目标 3、能够从圆的“集合”定义出发,发现构造辅助圆的基本模型,发展到在图形中发现模
型从而构造辅助圆;
4、逐步建立从圆的观点看问题的意识,能够多角度认识事物,全面还原事物的本质 .
教学重点 利用辅助圆解决角度间的转化问题
教学难点 回归圆的“集合”定义,发现图形中构造圆的模型
教学方法 变式延伸,讲练结合、教师启发下的学生自主探究
教学用具 几何画板,圆规,直尺
教 学 设 计
教学过程 设计说明
一、寻根溯源
一、
我们先来看看这道我们熟悉的题目,引例(课本 P88 习题)
这是一道学生熟悉的题目, 以此让
如图, OA,OB,OC 都是⊙ O 的半径,∠ AOB =2∠BOC,
学生体会利用圆周角定理可以进
求证:∠ ACB =2∠BAC
行角度转化, 并让学生初步感受圆 O
C
这一工具在转化角度时的方便与
1、学生完成证明后,画板中展示解答;
证明:∵ OA,OB,OC 都是圆 O 的半径,
A
B
准确。
又∵弧 AB=弧 AB,弧 BC =弧 BC,
∴∠AOB= 2∠ACB,∠BOC= 2∠BAC,
又∵∠ AOB= 2∠BOC,
∴∠ACB= 2∠BAC .
第 1 页 共 7 页
2、提问:在这道证明题中,证明的过程中用到了什么定理?而圆在这个
问题中发挥了怎样的作用?思路是怎样的?
生答:用到了圆周角定理,圆为本题提供了转化角的可能与便捷,思路是
利用圆周角定理,将圆心角的条件转化为圆周角的结论从而得证。
二、
二、启发思路
O
如图, OA=OB=OC ,∠AOB =2∠BOC,
求证:∠ ACB= 2∠BAC
本题可从两个方面入手解决 :1.利
C
用等边对等角; 2.利用构造辅助圆
将问题转化为圆中圆周角与圆心
A
B
角的关系 .
1、提问:图形中有几个等腰三角形?分别是哪三个?
生答 :3 个,△ AOB,△BOC,△ AOC;
设计本题期望达到的效果是: 学生
2、思路引导:∠ AOB 和∠BOC 是两个等腰三角形的顶角,而∠ ACB 和
习惯于利用前者, 但是前者的证明
∠BAC 又与△ AOB 和△BOC 的底角有关,所以可以考虑利用顶角与底角
方法繁杂且理解不易, 而在引导之
的关系来解决本题,请同学们完成证明;
后让学生有了引例中的方法意识,
3、三分钟后画板展示证明过程;
证明:∵ OA=OB ,
让学生在权衡两种方法的优劣之
后感受图形中出现了可以构造辅
∴∠OAB= ∠OBA
180 AOB
2
∴∠OAB=
,
助圆的基本模型时, 利用圆的定义
构造辅助圆在角度转化问题的优
180 AOC 180 BOC
同理∠ OCA= ∠OAC= ,∠ OCB=
2 2
势,便捷且易于理解; 初步让学生
尝到新方法的甜头 .从而强化辅助
∵∠ACB= ∠OCB-∠OCA =
AOC BOC
2
=
AOB
2
圆的意识 .
∵∠BAC= ∠OAB-∠OAC=
AOC AOB
2
=
BOC
2
又∵∠ AOB= 2∠BOC,
设置问题的目的在于引导学生还
∴∠ACB= 2∠BAC
4、提问:这个证明过程是不是稍微显得有些复杂呢?那么我们再来想想
原图形,并初步认识这个可以构造
辅助圆的基本模型;
有没有别的什么办法:再来看看这个图形与引例的图形,你有什么发现
吗?
生答 :比习题中少了个圆;
如果有这个圆, 这道题是不是就能像引例一样利用圆周角定理更快捷的解
决了呢?那根据这道题的条件我们可以让这个圆出现吗?
生答 :可以,因为 OA=OB=OC ,所以 A,B,C 三点在以 O 为圆心,
OA 为半径的圆上;
请同学们添出辅助圆,并完成证明;
证明:∵ OA=OB=OC ,
∴A,B,C 在以 O 为圆心, OA 为半径的圆上,
∴弧 AB=弧 AB,弧 BC=弧 BC,
∴∠AOB= 2∠ACB,∠BOC= 2∠BAC,
又∵∠ AOB= 2∠BOC,
∴∠ACB= 2∠BAC .
5、引导:我们经常添加
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