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习题 8- 3
1. 求下列函数的全微分 :
(1) z =xy + x ;
y
解 dz= ?z dx + ?z dy = (y + 1)dx+(x- x )dy .
?x ?y y y2
y
(2) z =ex ;
y
解 dz= ?z dx + ?z dy =- y e x dx+ 1 ey xdy .
?x ?y x 2 x
y
(3) z= ;
2 2
x + y
3
解 因为 ?z 1 2 2 - 2 xy ,
= - y(x + y ) = - 2 2 3/ 2
?x 2 (x + y )
2 2 y
x + y - y?
2 2 2
?z x + y x
,
= =
?y x2 + y2 (x2 + y2 )3/ 2
2
所以 dz= - xy dx+ x dy = - x (ydx- xdy).
2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2
(x + y ) (x + y ) (x + y )
(4)u=xyz.
解 因为 ?u = yz?x yz - 1 , ?u = zxyz ln x , ?u = yxyz ln x ,
?x ?y ?z
所以 du= yzxyz- 1dx+ zxyz ln xdy + yx yz ln xdz
2 2
2. 求函数 z=ln(1+x +y )当 x=1, y=2 时的全微分 .
解 因为 ?z = 2x , ?z = 2 y ,
2 2 2 2
?x 1+ x + y ?y 1+ x + y
?z 1 ?z 2
x=1 = , x=1 = ,
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