全国高中数学联赛一试及加试试题参(word版).doc

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向 直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是_____________. 2.设的内角的对边分别为，且满足， 则的值是_____________. 3.设，则的最大值是_____________. 4.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的 两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为， 则的最大值是_____________. 5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是_____________. 6.设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 7．满足的所有正整数的和是_____________. 8．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用种密码的概率是_____________.（用最简分数表示） 二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数 （1）若对任意，都有，求的取值范围； （2）若，且存在，使得，求的取值范围． 10．（本小题满分２０分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有 （1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列; （2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11．（本小题满分20分） 如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且． （1）求证：为定值； （2）当点A在半圆（）上运动时，求 点的轨迹． 2012年全国高中数学联赛加试试题 一、（本题满分40分） 如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线。 二、（本题满分40分） 试证明：集合满足 （1）对每个，及，若，则一定不是的倍数； （2）对每个（其中表示在Ｎ 中的补集），且，必存在，，使是的倍数． 三、（本题满分50分） 设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为 求证： 四、（本题满分50分） 设，是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数的最大整数． 2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 参考答案及详细评分标准(A卷word版) 一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上． 设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向 直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 ． 解:方法1:设则直线的方程为即 由 又所以故 设的内角的对边分别为，且满足， 则的值是 . 解:由题设及余弦定理得,即故. ３．设，则的最大值是 . 解:不妨设则 因为 所以 当且仅当时上式等号同时成立.故 4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的 两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为， 则的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 在中,由余弦定理得 当且仅当时等号成立.故的最大值为1. 5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 ． 解:如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则 ,从而,因为 所以即 所以,故 6. 设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 解:由题设知,则因此,原不等式等价于 因为在上是增函数,所以即又所以当时, 取得最大值因此,解得故的取值范围是 ７．满足的所有正整数的和是 ． 解:由正弦函数的凸性,有当时,由此得 所以 故满足的正整数的所有值分别为它们的和为. ８．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示） 解:用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为 .于是,有,即由知，是首项为，公比为的等比数列。所以，即，故 二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ９．（本小题满分１６分）已知函数 （１）若对任意