人教A版数学必修五3.1《不等关系与不等式》授课教学教案.docVIP

PAGE PAGE 2 3.1不等关系与不等式 教学目标： 1．知识与技能： 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式． 2．过程与方法： 通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法． 3．情感、态度与价值观： 通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯． 教学重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式． 教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式． 教学过程： 一、不等关系 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系． 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系． 问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤． 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元．那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.. 根据题意，应有如下的不等关系： （1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm； （2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）解得两钟钢管的数量都不能为负． 由以上不等关系，可得不等式组： 设计目的：为了让学生了解不等关系与不等式在生活和数学中的作用，激发情趣，贴近学习的主动性，真实感受学有所用。 设计目的：为了让学生了解不等关系与不等式在生活和数学中的作用，激发情趣，贴近学习的主动性，真实感受学有所用。 二、数运算性质与大小顺序之间的关系 ； ； ． 设计目的：巩固前面的学习内容，承前启后。 设计目的：巩固前面的学习内容，承前启后。 不等式的性质 定理1：（对称性）如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b；即 a>bb<a． 证明： 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向． 定理2：（传递性）如果a>b，b>c，那么a>c． 即 a>b，b>ca>c． 证明： 说明：由定理1，可知定理2还可以表示为：． 定理3：（加法保序性）若a>b，则a+c>b+c，即a>ba+c>b+c． 证明： 推论1：（移项法则）不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边． 推论2：（加法法则）a>b，c>da+c>b+d． 证明： 推广：两个或几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向． 定理4：（乘法保序性）若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac<bc．即 　　　　a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bd． 证明： 推论1：（乘法法则）a>b>0，c>d>0ac>bc． 证明： 推广：两个或几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向． 推论2：（乘方法则）a>b>0(nN,且n>1) 定理5：（开方法则）若 则(． 即 证明： 练习：课本：P74． 小结：1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据． 2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件． 设计目的：掌握理论部分的内容，对培养严密的逻辑性推理起到重要的作用，让学生先有理论支撑，然后深入学习。 设计目的：掌握理论部分的内容，对培养严密的逻辑性推理起到重要的作用，让学生先有理论支撑，然后深入学习。 四、应用举例 例1．已知，求证． 证明： 例2．已知，求证：． 证明： 例3．已知，求证． 证明：．， 故 ． 例4．设，求的取值范围． 解：由； ，且，． 由． 例5．设，且．求的取值范围． 解：． 设， 即． ．． 由得，． ． 小结：1．应用不等式的性质证明不等式，一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式． 2．根据不等式的性质，同向不等式可以相加，同向且两边均为正数的不等式可以相乘；同向不等式不能相减和相除，异向不等式的相减或相除应转化继同向不等式后用