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电影院座位设计问题
一、问题的提出
下图为影院的剖面示意图, 座位的满意程度主要取决于视角 α和仰角 β。视角 α是观众
眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角, α越大越好;仰角 β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水
平线的夹角, β太大使人的头部过分上仰,引起不舒适感,一般要求 β不超过 30 o 。
设影院屏幕高 h, 上边缘距地面高 H ,地板线倾角 θ,第一排和最后一排座位与屏幕水
平距离分别为 d 和 D, 观众平均坐高为 c(指眼睛到地面的距离) 。已知参数 h=1.8 , H=5,
d=4.5 , D=19, c=1.1 (单位: m)。 ( 如图所示 )
地板线倾角 θ= 10 o ,试问最佳的座位在什么地方。
求地板线倾角 θ(一般不超过 20 o ),使所有观众的平均满意程度最大。
地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
二、问题的分析
观众在电影院观赏电影, 感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否, 而且还取决于座位设计的舒适程度 . 座位的设计应满足什么要求, 是一个非常现实
的问题 . 根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角 . 经调查可知这两者都要满足一定的条件 . 但在实际生活中又不可能同时满足,只能在
二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况 . 根据题意很容易得知
和 的正切值呈递减趋势,这对问题的解决很有帮助 . 下文针对题目提出的三个
问题逐一进行分析 .
针对问题 1:为方便求解,可以以屏幕所在的墙壁的剖面为 y 轴,向上
为正方向,以与之垂直的地面为 x 轴,以交点为原点 O,建立直角坐标系 . 当地板
线倾角 10 o 时,根据已知条件通过计算得知,最前排视角 和仰角 的值均
为最大,最后排视角 和仰角 的值均为最小 . 那么仰角 300 时的位置是否是
最佳位置呢?我们可以先将离散的座位连续化,根据条件求出 tg 的表达式,作
出 对 x 的变化图象以及其变化率图象,计算 tg 的最大值,找到最佳座位点,
然后再将问题离散化,对求得的最佳座位点进行优化 .
针对问题 2: 一般地,人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念 . 本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念 . 根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识, 我们可以引入满意度函数的概念, 构造一个满意度函数, 通过这
一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离 x 的变化趋势 . 在倾斜角 固定的情况下,满意度函数值随 x 的变化而变化,不同的 x 有不同的满意度 . 有了
满意度函数这一衡量标准后,我们可以求出所有座位的平均满意度 . 当平均满意度最大时,求出此时对应的倾斜角 ,即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度 .
三. 模型的假设
假设座位在地板线上严格等距,且均匀分布;
假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量,因而可将离散问题连续化;
假设视角对观众的满意度影响较大;
四. 符号说明
当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角
当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角
p( x, y)
当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标
F( x)
关于距离
x 和倾斜角
的正切函数
G( x)
关于距离
x 和倾斜角
的正切函数
M ( x)
满意度函数
M (xi )
第 i
个位置的满意程度
平均满意程度
满意度函数的相关因子(即满意因子)
五.模型的建立
1.建模的准备
1.1 建立坐标系
为了建立合适的数学模型,我们先建立如下坐标系:
由题意及坐标图得,直线 L 的方程: y tg ( x d ) c
( 1)
直线 L 上任意一点 P( x, y) 的仰角 β的正切值为:
tg
H
c
( x
d)tg
(2)
x
又由图可知:
tg (
)
H
c h
( x
d )tg
(3)
x
由( 2)( 3)得:
tg
h
tg 2
( H c dtg )2
h(H c dtg )
htg
2( H c
dtg
)
(1
)x
x
1.2 构造满意度函数
一般说来,人们的心理变化是一个模糊的概念 . 本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念 . 由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识,根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律, 不妨定义观众对座位的满意度为:
( x x0 )2
M ( x) e
(0)
(4)
其中
表示观众满意度的相关因子, 称为满意因子 ,一般为常数 .
x0 表示最佳座
位点,即最佳座位处的横坐标值 .
模型的建立
2.1 问题 1 的模型
座位的满意程度主要取决于视角 α 和仰角 β. α越大越好, β 太大使人的头
部过分上仰
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