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高一数学期末复习讲义 4 平面向量 1 知识点 1 平面向量基本概念 1、设四边形 ABCD 中，有 1→→→ | → | DC＝AB 且|AD|＝ ，则这个四边形是 ________． BC 答案： 等腰梯形 知识点 2 向量的线性表示 2、平行四边形 OADB 的对角线交点为 → 1 → →1→→ → C， BM ＝ BC ， CN ＝ CD ， OA ＝ a， OB＝ b，用 a、 3 3 → → → b 表示 OM 、 ON 、 MN . → →1→11 →→→1 5 → → → 解： BA ＝ a－ b，BM ＝ BA ＝ a－ b，OM ＝ OB＋ BM ＝ a＋ b.OD＝ a＋ b，ON ＝OC＋ 6 6 6 6 6 →1→1→2→2 a＋ 2→→→1 1 b. CN＝ OD＋ OD＝ OD ＝ 3 b.MN ＝ ON－ OM ＝ a－ 2 6 3 3 2 6 知识点 3 共线向量 3、设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1) → → → 若AB ＝ a＋ b， BC ＝2a＋ 8b，CD＝ 3(a－ b)．求证： A 、 B 、D 三点共线； (2) 试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋ kb 共线． (1) 证明：∵ → → → AB ＝ a＋ b，BC ＝2a＋ 8b，CD ＝ 3(a－ b)， ∴ → → → → BD ＝ BC ＋ CD ＝2a＋ 8b＋3(a－ b)＝ 5(a＋ b)＝ 5AB . ∴ → → AB 、 BD 共线． 又它们有公共点 B，∴ A 、 B、 D 三点共线． 解：∵ ka＋ b 与 a＋ kb 共线， ∴ 存在实数 λ，使 ka＋ b＝ λ(a＋ kb)， 即(k － λ)a＝ ( λk－1)b. 又 a、 b 是两不共线的非零向量，∴ k－ λ＝ λk－ 1＝0. k2－ 1＝ 0.∴ k＝ ±1. 练习 1.已知点 P 在直线 MN 上，且 MP 2PN ,若 MP PN ,则 ______. → 2.已知△ ABC 中，点 D 、E 分别为边 AC 、AB 上的点，且 DA ＝ 2CD ，EB＝ 2AE ，若BC ＝ a， → → CA ＝ b，则以 a、 b 为基底表示 DE＝ ________． 答案： 1b－ 1a 3 3 → → → →→→2→ 1→21 1 1 1 a. 解析 ：由题知 AB ＝ CB－ CA ＝－ a－ b，DE＝ DA ＋AE ＝ CA ＋ 3 AB ＝ b－ a－ b＝ b－ 1 3 2 3 3 3 3 3 → → → 3. 设 D、E 分别是△ ABC 的边 AB 、BC 上的点， AD ＝ AB ，BE＝ DC ，若 DE＝ λ1AB ＋ λ2AC 2 3 ( λ、1 λ为实数2 ) ，则 λ 1＋ λ 2＝ ________． 答案： 1 2 → → → 1 → ＋ 2 → ＝ 1 → ＋ 2 → → 1 → ＋ 2 → ＝ λ → ＋ λ → ，故 λ 解析： DE＝DB ＋ BE＝ 2AB 3BC 2AB 3(AC － AB )＝－ 6AB 3AC 1AB 2AC 1 ＝－ 1，λ ＝ 2，则 λ＋ λ＝1 6 2 3 1 2 2. 4. 已知 e1 与 e2 是两个不共线向量， → → → AB ＝ 3e1＋ 2e2， CB ＝2e1－ 5e2， CD ＝ λe1－ e2.若三点 A 、 B、 D 共线，则 λ ＝ ________． 答案： 8 → → → → → → → 解析： ∵ A、B、D 共线， ∴ AB 与 BD 共线， ∴ 存在实数 μ，使 AB ＝ μBD .∵ BD＝ CD － CB ＝( λ－ 2)e1＋ 4e2，∴ 3e1＋2e2＝μ( －λ 2)e1＋ 4μe2，∴ μ（λ－ 2）＝ 3， μ＝ 1， 4μ＝ 2， ∴ 2 λ＝ 8. 高一数学期末复习讲义 5 平面向量 2 知识点 1 向量的坐标运算 1、已知 → → → A( － 2， 4)， B(3 ，－ 1)， C(－ 3，－ 4)，设 AB ＝a， BC ＝ b，CA ＝ c， → → 且 CM ＝ 3c， CN ＝－ 2b. (1) 求 3a＋ b－ 3c； (2) 求满足 a＝ mb＋ nc 的实数 m、 n； (3) → 求 M 、 N 的坐标及向量 MN 的坐标． 解： 由已知得 a＝ (5，－ 5)， b＝ (－6，－ 3)， c＝(1， 8)． 3a＋ b－ 3c＝ 3(5，－ 5)＋ (－ 6，－ 3)－ 3(1，8)＝ (15－ 6－ 3，－ 15－3－ 24)＝ (6，－ 42)． ∵ mb＋ nc＝ (－ 6m