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山东省各地市2020年中考数学最后一题真题汇编卷
1.(2020?临沂)如图,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°,点E是边AB上任意一点(端点除外),线段CE的垂直平分线交BD,CE分别于点F,G,AE,EF的中点分别为M,N.
(1)求证:AF=EF;
(2)求MN+NG的最小值;
(3)当点E在AB上运动时,∠CEF的大小是否变化?为什么?
2.(2020?东营)如图1,在等腰三角形ABC中,∠A=120°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接BE,点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点.
(1)观察猜想.
图1中,线段NM、NP的数量关系是 ,∠MNP的大小为 .
(2)探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置,连接MP、BD、CE,判断△MNP的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=1,AB=3,请求出△MNP面积的最大值.
3.(2020?烟台)如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA=2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当线段DF的长度最大时,求D点的坐标;
(3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
4.(2020?枣庄)如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,AC,BC.M为线段OB上的一个动点,过点M作PM⊥x轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0),请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?
(3)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
5.(2020?潍坊)如图,抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)与x轴交于点A(﹣2,0)和点B(8,0),与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点,连接PB,PC,当S△PBC=S△ABC时,求点P的坐标;
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△OBC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
6.(2020?泰安)若一次函数y=﹣3x﹣3的图象与x轴,y轴分别交于A,C两点,点B的坐标为(3,0),二次函数y=ax2+bx+c的图象过A,B,C三点,如图(1).
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图(1),过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点E在抛物线上(y轴左侧),若BC恰好平分∠DBE.求直线BE的表达式;
(3)如图(2),若点P在抛物线上(点P在y轴右侧),连接AP交BC于点F,连接BP,S△BFP=mS△BAF.
①当m=时,求点P的坐标;
②求m的最大值.
7.(2020?淄博)如图,在直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,经过A(﹣2,0),B,C三点的抛物线y=ax2+bx+(a<0)与x轴的另一个交点为D,其顶点为M,对称轴与x轴交于点E.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)已知R是抛物线上的点,使得△ADR的面积是?OABC的面积的,求点R的坐标;
(3)已知P是抛物线对称轴上的点,满足在直线MD上存在唯一的点Q,使得∠PQE=45°,求点P的坐标.
8.(2020?威海)发现规律
(1)如图①,△ABC与△ADE都是等边三角形,直线BD,CE交于点F.直线BD,AC交于点H.求∠BFC的度数.
(2)已知:△ABC与△ADE的位置如图②所示,直线BD,CE交于点F.直线BD,AC交于点H.若∠ABC=∠ADE=α,∠ACB=∠AED=β,求∠BFC的度数.
应用结论
(3)如图③,在平面直角坐标系中,点O的坐标为(0,0),点M的坐标为(3,0),N为y轴上一动点,连接MN.将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK,连接NK,OK.求线段OK长度的最小值.
9.(2020?青岛)已知:如图,在四边形ABCD和Rt△EBF中,AB∥CD,CD>AB,点C在EB上,∠ABC=∠EBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延长DC交EF于点M.点P从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2cm/s;同时,点Q从点M出发,沿MF方向匀速运动,速度
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