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设二维随机变量的概率密度为
()求 ;
()求协方差;
()令,求协方差.
解:()
()
()
甲罐中有一个白球,二个黑球,乙罐中有一个白球,四个黑球,现掷一枚均匀的硬币,如果得正面就从甲罐中任取一球,如果得反面就从乙罐中任取一球,若已知取的球是白球,试求此球是甲罐中取出的概率。
解:令 ,,则
,
由题意知 ,, 利用 公式知
. 设随机变量的密度函数为:
()试确定常数 ; ()求; ()求的密度函数.
解()
得:
()
()当时,;
当时,
. 进行次独立测试,测得零件加工时间的样本均值(秒),样本标准差 (秒). 设零件加工时间服从正态分布,求零件加工时间的均值及方差置信度为的置信区间.
.食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐的标准重量为(),每隔一定时间检查机器工作情况,现抽取瓶,测得其重量,计算得平均重量,样本方差,假设罐头重量服从正态分布,问:机器工作是否正常?(显著性水平, 分布表见最后一页)
解:
令 , 则
查的临界值 ,
拒绝域为:
将样本观测值代入可得
从而接受原假设 , 即机器工作正常.
.设总体的概率密度为,其中是未知参数,是的样本,求参数? 的矩估计量与最大似然估计量.
解 ()矩估计量
最大似然估计量
对于给定样本值似然函数为
,
,最大似然估计量为
设总体的概率密度为
其中??为未知参数,又设,?是的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值。
解:似然函数
令,解出?的最大似然估计值为
某工厂正常生产时,排出的污水中动植物油的浓度,今阶段性抽取个水样,测得平均浓度为(),标准差为(),问该工厂生产是否正常?()
解:
()检验假设:,:≠; 取统计量:;
拒绝域为:≤或≥,
经计算:,由于,
故接受,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为。
()检验假设; 取统计量: ;
拒绝域为; ,所以接受,
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是()。
综上,认为工厂生产正常。
、一箱产品共件,其中次品个数从到是等可能的。开箱检验时,从中随机抽取件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收,求该箱产品中确实没有次品的概率。
解:设 “箱中有件次品”,由题设,有,
又设 “该箱产品通过验收”,由全概率公式,有
故
即通过验收的该箱产品确实没有次品的概率是。
、设二维随机变量在矩形上服从均匀分布,()求的联合概率密度()求关于、的边缘概率密度()判断与的独立性。
解:()区域的面积为
(、)的联合概率密度为
()的边缘概率密度为
的边缘概率密度为
()显然,所以与不独立。
.对敌人阵地进行次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是,标准差是.
求次炮击中有至颗炮弹命中目标的概率.
解答:设 表示第次炮击命中目标的炮弹数,
由题设,有 ,
则次炮击命中目标的炮弹数 ,
因 相互独立,同分布,则由中心极限定理知
近似服从正态分布
于是
、 由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数的普哇松分布来描述,为了以以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进某种商品多少件?
(供参考:,)
解 设该商店每月销售某种商品件,月底的进货为件,则当()时就不会脱销,因而按题意要求为
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