2018年江苏高考数学二轮复习练习：8-函数最值、恒成立及存在性问题有答案.pdf

精品文档 专项限时集训 ( 八 ) 函数最值、恒成立及存在性问题 (对应学生用书第 127 页 ) (限时： 60 分钟 ) 2 1．(本小题满分 14 分 )( 镇江市 2017 届高三上学期期末 )已知函数 f (x )＝x ln x ，g (x) ＝ λ(x －1)( λ为常数 )． (1) 若函数 ＝ ( )与函数 ＝ ( )在 ＝1 处有相同的切线，求实数 的值； y f x y g x x λ 1 (2) 若 λ＝ ，且 x ≥ 1 ，证明：f (x ) ≤g (x )； 2 (3) 若对任意 x ∈[1 ，＋∞ ) ，不等式f (x ) ≤g (x )恒成立，求实数 λ的取值范围． [解 ] (1) f ′(x)＝ ln x ＋1 ，则 f ′ (1) 1 ＝且 f (1) ＝0. 所以函数 y ＝f (x )在 x ＝1 处的切线方程为： y ＝x －1 ， 1 从而 g ′(x) ＝2 λx，g ′ (1) 2 ＝λ＝1 ，即 λ＝ . 2 分 2 1 2 (2) 证明：由题意知：设函数 h (x )＝x ln x － (x －1) ，则 h ′(x )＝ln x ＋ 1 －x ， 2 1 设 p (x )＝ln x ＋1 －x ，从而 p ′(x) ＝ － 1 ≤0对任意 x ∈[1 ，＋∞ ) 恒成立， x 所以 p (x )＝ln x ＋ 1 －x ≤p (1) ＝0 ，即 h ′(x) ≤ 0 ， 1 因此函数 h (x) ＝xln x － (x 2 － 1)在 [1 ，＋∞ ) 上单调递减， 2 即 h(x ) ≤h(1) ＝0 ， 所以当 x ≥1 时， f (x ) ≤g (x )成立 . 6 分 2 －1 x H x x x λ (3) 设函数 ( ) ＝ ln － ( )， 从而对任意 x ∈[1 ，＋∞ ) ，不等式H(x ) ≤ 0 ＝H(1) 恒成立． 又 H ′(x) ＝ln x ＋1 －2 λx，