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专项限时集训 ( 八 )
函数最值、恒成立及存在性问题
(对应学生用书第 127 页 )
(限时: 60 分钟 )
2
1.(本小题满分 14 分 )( 镇江市 2017 届高三上学期期末 )已知函数 f (x )=x ln x ,g (x) = λ(x -1)( λ为常数 ).
(1) 若函数 = ( )与函数 = ( )在 =1 处有相同的切线,求实数 的值;
y f x y g x x λ
1
(2) 若 λ= ,且 x ≥ 1 ,证明:f (x ) ≤g (x );
2
(3) 若对任意 x ∈[1 ,+∞ ) ,不等式f (x ) ≤g (x )恒成立,求实数 λ的取值范围.
[解 ] (1) f ′(x)= ln x +1 ,则 f ′ (1) 1 =且 f (1) =0.
所以函数 y =f (x )在 x =1 处的切线方程为: y =x -1 ,
1
从而 g ′(x) =2 λx,g ′ (1) 2 =λ=1 ,即 λ= . 2 分
2
1
2
(2) 证明:由题意知:设函数 h (x )=x ln x - (x -1) ,则 h ′(x )=ln x + 1 -x ,
2
1
设 p (x )=ln x +1 -x ,从而 p ′(x) = - 1 ≤0对任意 x ∈[1 ,+∞ ) 恒成立,
x
所以 p (x )=ln x + 1 -x ≤p (1) =0 ,即 h ′(x) ≤ 0 ,
1
因此函数 h (x) =xln x - (x 2 - 1)在 [1 ,+∞ ) 上单调递减,
2
即 h(x ) ≤h(1) =0 ,
所以当 x ≥1 时, f (x ) ≤g (x )成立 . 6 分
2 -1
x
H x x x λ
(3) 设函数 ( ) = ln - ( ),
从而对任意 x ∈[1 ,+∞ ) ,不等式H(x ) ≤ 0 =H(1) 恒成立.
又 H ′(x) =ln x +1 -2 λx,
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