绝对值不等式的性质及其解法讲解学习.ppt

绝对值不等式性质及解法 考纲要求 22 ．不等式的基本性质和证明的基本方法 （ 1 ） 理解绝对值的几何意义， 并能利用含绝对值不等式的几何 意义证明以下不等式： ① a b a b ? ? ? . ② a b a c c b ? ? ? ? ? . （ 2 ）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ; ; . ax b c ax b c x a x b c ? ? ? ? ? ? ? ? （ 3 ）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法 . 反证法 , 放缩法 二、绝对值不等式 1 、绝对值三角不等式 O =a ( a 0) A ( a ) x |a| x A ( a ) B ( b ) |a-b| 任意两个实数 a,b 在数轴上的对应点分别为 A 、 B ， 那么 |a-b| 的几何意义是 A 、 B 两点间的距离。 实数 a 的绝对值 |a| 的几何意义是表示数轴 上坐标为 a 的点 A 到原点的距离： = - a ( a 0) |a| A ( a ) 问题 1 ：从“运算”的角度 |a|,|b|,|a+b| 具 有怎样的关系？ 分 ab 0 、 ab 0 和 ab =0 三种情形讨论： O x a b a+b O x a b a+b （ 1 ）当 ab0 时，如下图可得 |a+b|=|a|+|b| （ 2 ）当 ab0 时，也分为两种情况：如果 a0,b0 ， 如下图可得： |a+b||a|+|b| O b a x a+b 如果 a0, b0 ，如下图可得： |a+b||a|+|b| a+b a b x O （ 3 ）如果 ab=0 ，则 a=0 或 b=0 ，易得： |a+b|=|a|+|b| 定理 1 如果 a, b 是实数，则 |a+b| ≤|a|+|b| 当且仅当ab≥0时，等号成立。 探究： 如果把定理 1 中的实数 a, b 分别换成向量 a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？ a r b r a b ? r r O x y 这个不等式称为 绝 对值三角不等式。 当向量 a, b 共线时， 有怎样的结论？ 定理 1 的代数证明： 2 2 2 2 2 2 0 | |,| | ( ) 2 | | 2 | | | | (| | | |) | | | | ab ab ab a b a b a ab b a ab b a b a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 证明：当 时， 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ,| | ( ) 2 | | 2 | | | | | | 2 | | | | (| | | |) | | | |, | | | | | |, 0 ab ab ab a b a b a ab b a ab b a ab b a b a b a b a b ab ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 时， 所以 当且仅当 时，等号成立。 问题 2 ： 你能根据定理 1 的研究思路，探究一下 |a| ， |b| ， |a-b| ， |a+b|, 之间的关系吗？ |a|- |b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a -b|, |a|- |b|≤|a -b|. 如果 a, b 是实数，那么 |a|- |b|≤|a±b|≤|a|+|b| 例 1 已知ε 0 ， |x-a| ε ,|y-b| ε，求证： |2x+3y-2a-3b|5 ε . 证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y- b)|≤|2(x -a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 ε +3 ε =5 ε . 所以 |2x+3y-2a-3b|5 ε . 定理 2 如果 a, b, c 是实数，那么 |a- c|≤|a -b|+|b-c| 当且仅当 (a-b)(b- c)≥0时，等号成立。 证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b- c)|≤|a -b|+|b-c| 当且仅当 (a-b)(b- c)≥0时，等号成立。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x D y x C y x B m y m x . 2 . 2 . y - x A. ) ( , , : 的是 下列不等式中一定成立 若 例 B 例 2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km 和第 20km 处。现要在公路沿线建两个施