四年级奥数第一讲-一笔画问题.docxVIP

第十二讲一笔画问题 那么，什么叫一笔画1什么样的图可以一笔画出■?欧竝又是如何彻底证明 尢桥冋题的不可能性呢？下面，我们就来介貂这一方面的简单知谋 数学书我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形 叫做圈（如圈3 ） S圈中的点叫做曙的结点！连按两結点的线叫做圏的边. 如图（b）中，有三个结点：氐F. G,四条边：线段臥FG以及连接臥F的两 段呱?从图 Q、0）中可以看岀，任意两点之间都有一条通路〔即可臥从其 中一点出发，沿着图的边走到另一点左 WJI的通路为或A-Df I…”这样的图，我扪称为连通图；而下图中〔亡）的一些^点之间却不存在 通略（如M与N）,像这样的图就不是连逋图将 所谓图的一笔ML指的就是；从图的一点出发，笔不离纟氐遍历每条边恰 好一次，即每条边都只画一次，不推重复■从上图中容曷看出；能一笔画出的图 首先必须是连逋图-但是否所有的连逋图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探 求醉抉这个问题的方法。 为了叙述的方使’我们把与奇数条边相连的结点叫做奇吊 把与偶数条边 相连的点称为播点■如I上鹵申的八个给点全是寄■点，上扇（b）申卫、F衣奇 為G为偶点。 容易知道，上图00可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向. 经过匚G E.最后到达奇点心同理，从奇点F出发也可以一笔画也 最后到达 奇点氐而从偶点G岀发，却不能一笔画出?这是为什么呢？ G 事实上，这并不杲偶然现象?假定某个图可以一笔画成，且它的结点X既不 是起点，也不是终点，而是中何点，那么X—定是一个偶点.这杲因为无论何 时通过一条边到达X,由于不能重复，必须从另一董边离开X.这样与X连纟吉的边 -定成对出现，所以X必为偶点，也就是说：奇点在」笔画中只能作为起或终 点?由此可臥看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。 在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言’这个图无法一笔画岀， 也即游人不可能不重复地1次走遍七座桥.更逬1步地，欧拉在解决七桥问题的 同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理； 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起 点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 凡是只有两个奇点(其余均为偎点)的连邇图，一定可以一笔画完；画 时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。 其他情况的图，都不能一笔画出。 下面我们就来研丸1笔画问题的具体应用： 例1观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可 以一笔画的图形，指明画法. 分析与解答 (a)图；可以一笔画，因为只有两个奇点A、B；画法为A-头部-翅膀- 屋部f翔牆f噹。 ft)图；不能一笔画，因为此图不是连通图。 (匚)图；不能一笔IBj,因图中有四个奇点；￡ Br Cr Do 圏：可陕一笔画，因为只有两个奇点：画法为’ AfCfLLEFf O图；可以1笔画，因为没有奇点M画法可以是=人-*4*€—4)—*ETi G~ H—I fJfE~Df Ff H—L 仏 (F)图：不能一笔画岀，因为图中有八个奇点。 注意：衽上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两 个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点i对于 没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点.最后仍以这点作为终晟 例2下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗? 分析与解答 一个图能否一笔画出，关键取决于这个图中奇点的个数?通过观察可以发现，上图中所有的结点都是偶点，因此，这个图可以一笔画出?画时可以任一结点作为起点。 例3下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从 A、B出发，以相同的速度走 遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问 两人谁能最先到达C？ 分析与解答 本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达 C,而且两人的速度相同.因此，谁走的 路程少，谁便可以先到达Co容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街 道路程的总和。仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、 C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的 街道，最后到达C;而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的 总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达 Co 例4( 1)能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形? （2）能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形? ffl ffl 【解析】： 上面两个图形都只有两个奇点（红色交点），都是一笔画图形，但用笔画和用剪刀剪，这两种 操作是有区别的。 第一、用笔画，笔要经过图中的每一条线段，用剪刀剪只能剪图形内部线段，四周的边框是不 能剪的； 第二，