《函数及其表示》高考一轮基础强化复习(含答案).docVIP

《函数及其表示》强化复习 【要点梳理】 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 3．函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)). (6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}． 【易错说明】 1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． 2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数． 3．误把分段函数理解为几个函数组成． 分段函数——在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集． 【典型讲解】 题型1　函数的概念 例1　判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数． (1) A＝B＝N*，对应法则f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B； （ ） (2) A＝[0，＋∞)，B＝R，对应法则f：x→y，这里y2＝x，x∈A，y∈B； （ ） (3) A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法则f：x→y，这里y3＝x，x∈A，y∈B； （ ） (4) A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，对应法则：对任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z∈B. （ ） 解：(1) 对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2) 集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数． (3) 由y3＝x，即y＝eq \r(3,x)，因为A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法则f：x→y，符合函数对应． (4) 由于集合A不是数集，所以此对应法则不是函数． 变式训练——有以下判断： ①f(x)＝eq \f(|x|,x)与g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1　　?x≥0?,－1 ?x<0?))表示同一函数； ②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝0. 其中正确判断的序号是________． 思维启迪　可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 答案　②③ 解析　对于①，由于函数f(x)＝eq \f(|x|,x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1　　?x≥0?,－1 ?x<0?))的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \b\lc