高中数学圆的方程典型例题.docx

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关 系． 分析：欲求圆的标准方程， 需求出圆心坐标的圆的半径的大小， 而要判断点 P 与圆的位置关系， 只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系， 若距离大于半径， 则点在圆外； 若距离等于半径， 则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为 (x a)2 ( y b) 2 r 2 ． ∵圆心在 y 0上，故 b 0 ． ∴圆的方程为 ( x a)2 y 2 r 2 ． 又∵该圆过 A(1, 4) 、 B(3 , 2) 两点． (1 a) 2 16 r 2 ∴ a) 2 r 2 (3 4 解之得： a 1， r 2 20． 所以所求圆的方程为 ( x 1)2 y2 20 ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为 4 2 1，故 l 的斜率为 1，又 AB 的中点为 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分线 l 的方程为： kAB 3 1 y 3 x 2 即 x y 1 0 ． 又知圆心在直线 y 0 上，故圆心坐标为 C ( 1 , 0) ∴半径 r AC (1 1)2 42 20 ． 故所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ． 又点 P(2, 4)到圆心 C( 1, 0)的距离为 d PC (2 1)2 42 25 r ． ∴点 P 在圆外． 说明： 本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 第 1页共1页 例 2 求半径为 4，与圆 x2 y 2 4x 2 y 4 0 相切，且和直线 y 0 相切的圆的方程． 分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆 C：(x a) 2 ( y b) 2 r 2 ． 圆 C 与直线 y 0相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C1( a , 4) 或 C2 ( a , 4) ． 又已知圆 x2 y 2 4x 2 y 4 0 的圆心 A 的坐标为 (2 , 1) ，半径为 3． 若两圆相切，则 CA 4 3 7 或 CA 4 3 1 ． (1) 当 C1(a , 4) 时 ， (a 2)2 (4 1) 2 72 ， 或 (a 2)2 (4 1) 2 12 (无解)，故可得 a 2 210． ∴所求圆方程为 ( x 2 2 10)2 ( y 4)2 42 ，或 (x 2 2 10)2 ( y 4) 2 42 ． (2) 当 C2 ( a , 4) 时 ， (a 2)2 ( 4 1)2 72 ， 或 (a 2) 2 ( 4 1) 2 12 (无解)，故 a 2 2 6 ． ∴所求圆的方程为 (x 2 2 6 ) 2 ( y 4) 2 42 ，或 ( x 2 2 6) 2 ( y 4) 2 42 ． 说明： 对本题，易发生以下误解： 由 题 意 ， 所 求 圆 与 直 线 y 0 相 切 且 半 径 为 4 ， 则 圆 心 坐 标 为 C ( a , 4) ， 且 方 程 形 如 ( x a) 2 ( y 4)2 42 ．又圆 x2 y 2 4x 2 y 4 0 ，即 (x 2)2 ( y 1)2 32 ，其圆心为 A( 2 , 1) ，半径为 3．若两圆相切， 则 CA 4 3 ．故 (a 2) 2 (4 1) 2 72 ，解之得 a 2 2 10．所 以欲求圆的方程为 ( x 2 2 10 )2 ( y 4)2 42 ，或 (x 2 2 10)2 ( y 4)2 42 ． 上述误解只考虑了圆心在直线 y 0 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 y 0下方的情形．另外，误 解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的． 例 3 求经过点 A(0 , 5) ，且与直线 x 2y 0 和 2x y 0 都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程． 需确定圆心坐标与半径， 由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标． 又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上． 解： ∵圆和直线 x 2y 0 与 2x y 0 相切， ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 x 2y 0 和 2x y 0 的距离相等． 第 2页共2页 x 2 y x 2 y ∴ ．