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第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
5.1 Hermite矩阵与 Hermite二次型
5.2 Hermite正定(非负定)矩阵
5.3矩阵不等式
5.4 Hermite矩阵的特征值*
5.1 Hermite矩阵与 Hermite二次型
5.1.1 Hermite矩阵
5.1.2矩阵的愤性
5.1.3 Hermite二次
5.1.1 Hermite矩阵
Hermite矩阵具有如下简单性质
(1)如果A是 Hermite矩阵,则对正整数k,Ak也是
Hermite阵;
(2)如果A是可逆 Hermite矩阵,则A1是 ermita矩阵;
(3)如果A,B是 Hermite矩阵,则对实数k,n,k+pB是
Hermite矩阵;
(4)若A,B是 Hermite矩阵,则AB是 Hermite矩阵的
充分必要条件是AB=BA
(5)A是 Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵S,
SHAS是 Hermite矩阵
定理511设=(a1)∈C,则A是 Hermite矩阵的充分
必要条件是对任意∈C",xAx是实数
定理5.12设A为n阶 Hermite矩阵,则
(1)A的所有特征值全是实数;
(2)A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。
定理513设A∈CX,则A是 Hermite矩阵的充分
必要条件是存在酉矩阵U使得
UAU=A=diagλ1,A2,…,n)
(5.11)
其中1,,,均为实数
定理514设A∈RX,则A是实对称矩阵的充分
必要条件是存在正交矩阵Q使得
2AQ=A=diag(n,,,Au)
(51.2
其中1,,…,均为实数
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