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几何证明中巧添辅助线
摘 要:在几何证明中添加辅助线是非常重要的,添加辅助线就等于在已知条件和结论中搭建了一座桥,它不仅是问题解决的突破口,而却可以拓宽解题思路培养学生的思维能力.本文主要在平面几何如三角形、梯形、圆等图形的证明题中和立体几何椎体、柱体等证明题中巧添辅助线解题进行了探讨.
关键词:辅助线;几何;解决
目 录
TOC \o 1-3 \u 绪言 1
1 在平面几何中巧添辅助线 1
1.1 添辅助线解三角形问题 1
1.2 添辅助线巧解梯形 3
1.3 在圆中巧添辅助线解题 5
1.4 不规则图形中的辅助线 6
2 在立体几何中巧添辅助线 8
2.1巧添辅助线妙解锥体 8
2.2在柱体中如何添辅助线 10
2.3 其他立体图形中巧添辅助线解题 11
3 结论 12
参考文献 13
致 谢 14
绪言
为解几何题的需要在原题给定的图形上添加的线我们称之为辅助线,常用虚线表示.在几何证明中添加辅助线是非常重要的,添加辅助线就等于在已知条件和结论中搭建了一座桥,它不仅是问题解决的突破口,而却可以拓宽解题思路培养学生的思维能力.平面几何是初中教学的重要组成部分,它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用,又是继续学习数学和其他学科的基础,但许多同学对几何证明题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证明题,往往束手无策.本文主要在平面几何如三角形、梯形、圆等图形的证明题中和立体几何椎体、柱体等证明题中巧添辅助线解题进行了探讨.
在平面几何中巧添辅助线
添辅助线解三角形问题
在解答三角形的问题时,有时需要添加适当的辅助线,以便简单快捷求出所问,在三角形中添加辅助线有很多中方法,但要填的巧妙,下面就这个问题来进行探讨.
例1 如图1-1 AB=4、 、、BC=3、 DA=6 点M是CD的中点,求BM的长.
证法一
分析 由中点垂线我们就要构造直角三角形,从直角三角形中应用勾股定理
求出BM长,我们可以延长BM来构造三角形.
_A_B_N_1_2
_
A
_
B
_
N
_
1
_
2
_
D
_
C
因为 CBAB DAAB,
所以 CB∥AD, D=C.
因为 1=2,
所以 DNMCBM.
所以 NM=BM,ND=CB.
AN=AD-ND
=AD-CB
=6-3
=3. 图1-1
在直角三角形ABN中,
BN=
=
=5.
所以 BM=BN=.
证法二
分析 由M.B是中点联想中位线,利用中位线的有关性质求解添加辅助线构造三角形.
解 延长CB到F使BF=CB连接DF,过F作FEAD于E 得矩形ABFE.
所以 AE=BF=3,EF=AB=4.
所以 ED=AD-AE
_C_
_
C
_
B
_
A
_
D
_
F
_
M
_
E
=3.
在RtDEF中
DF=
=
=5.
因为 CM=MD, 图 1-2
所以 BM=DF=.
例2 如图1-3已知正三角形ABC,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE,求证:EC=ED.
分析 证线段相等的方法有很多,如可以利用等角对等边、全等三角形对应边相等,利用角平分线性质定理、中垂线性质定理等从本题已知条件来看,试图去证ECD=EDC比较困难,另一方面, 题中又无角平分线、中垂线等明显条件, 故可优先考虑通过全等知识来证明欲证全等.
证法一 如图1-3,延长BD到F,使DF=AB,连结EF.
_B_D_A_
_
B
_
D
_
A
_
F
_
E
_
C
所以 AE+AB=BD+DF,即BE=BF.
因为 ABC是正三角形,
所以 B=.
所以 BEF是正三角形.
得 F=B=.
所以 BE=EF 在BEC和FED中.
因为 BE=DF,B=F BE=EF, 图 1-3
所以 BECFED.
所以 CE=DE.
证法二 如图1-4过点D作DF∥AC交BE于点F.
因为 ABC是正三角形,
所以 BAC=BFD=.
所以 BFD是正三角形.
所以 BF=BD=FD.
因为 BD=AE,
_A_C_D_
_
A
_
C
_
D
_
B
_
F
_
E
因为 AB=AC,
所以 AC=EF.
因为 AC∥DF,
所以 EAC=EFD.
在AEC和EDF中,
因为 AE=FD,
EAC=EFD,
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