抛物线的性质归纳证明.docxVIP

概念 抛物线的常见性质及证明 焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段； 焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦 性质及证明 过抛物线 y2= 2px (p>0)焦点F的弦两端点为 A(x〔, yi), Bg, y2),倾斜角为cc ,中点为 C(x0,y 0), 垂足为 A'、B'、C' . 1.求证: 分别过A、B、C作抛物线准线的垂线， ①焦半径| AF |= x〔 +卫=―p—; 2 i - cos： 2 i i ③ + | AF | | BF | xi=x2( a =90 )时， 2 p . 2 sin 上 一=一； ④弦长 | AB | = xi + x2 + p= p 弦长|AB|最短，称为通径，长为 ②焦半径|BF |=x2 g = 一 ; 2 2 i cos： -2^ ;特别地，当 sin : ⑤△ AOB的面积& OAB= 2p; 证明：根据抛物线的定义, p | AF| =| AD| = xi + 号 | BF | =1 p BC| = x2+ 2, | AB| = | AF | + | BF | = xi + X2 + p 如图2,过 A B引x轴的垂线 AA、BB,垂足为 A、B,那么 | RF | = | AD| -| FA | = | AF | 一 | AF |cos u, ...| AF | | RF| = p i cos i cos 同理，| BF| = ir^ ... | AB| =| AF | +| BF | i — cos 6 i + cos 6 2psin 2 8 I S/xOAB— S/\OAF+ S\ OBF= ?| OF|| yi | i i p + 2 OF|| yi | = 2 ? 2 ■(| yi | +| yi |) \ A(xi, yi) 2 -yiy2= — p，贝U yi、y2异方，因此，| yi | + | yi | = | yi — y2 | 乩。AB= P| 乩。AB= P| yi — y2 1 = W(yi + y，2- 4yiy2 =为4布+ 4p2 =只 1 + n2=-^SL- 1 2—— —BF 1 2 —— — BF | p 2.求证：① xx?=— ；② y〔y2=—p . 4 ， 当ABL x轴时，有 AF = BF =p,成立; 当AB与x轴不垂直时，设焦点弦 AB的方程为：y=k x-卫..代入抛物线方程: I 2J k2 ' x 一堂 1 =2px.化简得：k2x2 一 p( k2+2 )x + 号 k2 = 0 ⑴ ?.?方程1)之二根为xi , x ?.?方程 1)之二根为 xi , x2, k2 xi X2". i AF bf| |aaJ BBi i i xi x2 p r = _ _ 2 p p p p Xi 2 x2 - xix2 -2 x2 4 【证法一】延长 【证法一】延长 AM废BC的延长线于E,如图3, x〔 x2 p x x2 p 2 -~2 2 -— -一 巳 E xi x2 — - xi x2 p p 4 2 4 2 3.求证：NAC'B=￡A'FB' = RtZ . 先证明：/ AMB= RtZ △ ADIWA ECM . ? | AM = | EM| , | EC| =| AD | ??? | BE| = | BC| + | CE | = | BC| + | AD| =| BF | + | AF| = | AB| . .△AB即等腰三角形，又 M是AE的中点, . .BMAE 即Z AMB= RtZ 【证法二】取 AB的中点N, 连结MN则 …. i … | mn = 2(| ad| +1 i i BC|) = 2(| AF| +1 BF |) = 2| AB| , ??. | MN| = | AN| =| BN| .?.△AB衲直角三角形, AB为斜边，故/ AMB= RtZ . D _ D 【证法二】由已知侍 C（ — 2，y2）、D[ — 2，yi），由此侍 M — yi+y2 2 ). yi+ y2 yi - ~2~ kA咛 xi+2 2 ， 一p、 , 、 p(yi——) yi —y2 p(yi — v2 yi kAM ? kB『—, yi 2 = 2孕+ p2p 2 2 ￡ — _D _ _ 2 — y2 yiy2 — p yi p2 2 2 yi+ p 卫，同理y卫 yi y2 ..B以 AE 即 Z AMBRt Z . D D 【证法四】由已知侍 C（ — 2, y2）、以一^, yi），由此侍M — p yi+y2) ???-Ma = (xi+p,号)，"MB=(X3+ p,号) .?.■Ma ~Mb=(xi+p)(X2+p) + *y/yi)p p2 (