113函数的单调性与导数.pdfVIP

1．1．3 函数的单调性与导数 一、教学目标： 了解可导函数的单调性与其导数的关系 .掌握利用导数判断函数单调性的 方法 . 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性 . 教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性 . 一般地，设函数 y ＝f (x)在某个区间内可导， 三、教学过程 如果 f (x ) ＞0，则 f (x )为增函数； 如果 f (x ) ＜0，则 f (x )为减函数． （一）复习引入 例 2 ．教材 P24面的例 1。 1．增函数、减函数的定义 一般地，设函数 f(x) 的定义域为 I ：如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量 x ，x ，当 x ＜x 时，都有 f (x )＜f (x )，那么就说 f (x)在这个区间上是增函数． 1 2 1 2 1 2 当 x ＜x 时，都有 f (x 1 2 1 )＞f (x2) ，那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数． 2 ．函数的单调性 如果函数 y ＝f (x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y ＝f (x ) 在这一区 2 例 3．确定函数 f(x) ＝x －2x＋4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y ＝f(x ) 的单调区间． 解： f(x) ＝2x －2． 令 2x －2＞0，解得 x ＞1． 在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 因此，当 x ∈(1, + ∞)时，f (x)是增函数． 例 1 讨论函数 y＝x2 －4x ＋3 的单调性． 令 2x －2＜0，解得 x ＜1． 解：取 x ＜x ，x 、x ∈R， 取值 1 2 1 2 因此，当 x ∈(－∞, 1)时，f (x)是减函数． 2 2 f (x1) －f (x2 )＝(x1 －4x 1+3) －(x 2 －4x2+3) 作差 3 2 例 4．确定函数 f(x) ＝2x －6x ＋7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．