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平面向量数量积的物理背景及其含义公开课教案
平面向量数量积的物理背景及其含义公开课教案(杨振远)
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平面向量数量积的物理背景及其含义公开课教案
平面向量数量积的物理背景及其含义公开课教案 (杨振远 )
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《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案
课题:§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
教材:(人教 A 版)数学必修 4 教者:杨 振 远
一、教学目标
1、了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义;
2 、体会平面向量的数量积与向量投影的关系, 理解掌握数量积的性质和运算律, 并能运 用性质和运算律进行相关的判断和运算;
3、体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
二、教学重、难点
教学重点: 1 、平面向量数量积的含义与物理意义
2、性质与运算律及其应用
教学难点: 1 、平面向量数量积的概念
2 、 平面向量数量积的运算律( 2)、(3)的证明
三、教学过程
活动一: 创设问题情景,引出新课
1 、提出问题 1 :请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果
是什么?
期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题 2:请同学们继续回忆, 前面我们学习了向量的相线性运算,即向量的加法、减
法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点,就是他们运算的结果仍然是一个向量, 并且这些结果都有明确的几何意义,即是一些与平行四边形的边、对角线、三角形的边以及 平行、共线有关的向量。下面我们一起思考这样一个问题。思考:既然平面向量能进行加减 运算,那自然会想到两个向量能否进行乘法运算?假如能的话那运算的结果又会是什么呢?
3、提出问题3 :我们在前面的学习中有没有接触过有关向量乘法之类的运算呢?
活动二:探究数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题4:(1
1、给出有关材料并提出问题4:
(1 )如图所示,一物体在力F的作用下产生位移
那么力F所做的功:W= |F||S|cosao
这个公式的有什么特点?请完成下列填空:
W (功)是
F (力)是
S (位移)是_量,
你能用文字语言表述“功的计算公式”吗 ?
期望学生回答:功是力的大小与位移的大小及其夹角余弦的乘积
总之:功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我们一个启发:能不能将功看成
是这两个向量的一种运算的结果呢?为此,引入平面向量的“数量积”的概念。
2、明晰数量积的定义
数量积的定义:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为 ,我们把数量丨a | ?lb | cos叫做a与b
的数量积(或内积),记作:a b,即:a b = | a |?|b | cos
定义说明:
记法“ a b ”中间的“ ?”不可以省略,也不可以用“ ”代替。
“规定”:零向量与任何向量的数量积为零。
3、提出问题5 :向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因 素有哪些?
平面向量数量积的物理背景及其含义公开课教案
平面向量数量积的物理背景及其含义公开课教案(杨振远)
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期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅 和向量a与b的模有关,还和它们的夹角有关。
4 ?请问:两个非零向量夹角的定义是什么?
已知非零向量 a与b,作OA = a, OB = b,则ZAOB = 9 (0 <9<n)叫a与b的夹角.
给出几个简单的图让学生判断向量的夹角
说明:二1)当辛二0时,a与b同向;
(2当9 = n时,a与b反向;
(3)当9 =—时,a与b垂直,记a丄b ;
2
(4)注意在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的 .范围0 < <180
5、学生讨论,并完成下表:
的范围
0 ° < <90 °
=90 °
0 ° <180 °
a b的符号
活动三:探究数量积的运算性质
1、 讨论数量积的运算与前面三种线性运算的区别(运算的结果是数量而不再是向量)。
■ T
2、 研究数量积运算结果的符号取决于 与-的夹角&。
3、 探究特性:
!? B- I- ? .
◎ ( 9二:时的情况)’ ■ (-■、T为非零向量)
此处可与实数进行对比:对 -八 」L "时?丄 o「o尖丄 0而
平面向量数量积的物理背景及其含义公开课教案
平面向量数量积的物理背景及其含义公开课教案(杨振远)
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此特性给我们提供了证实有关垂直问题的一个很好的方法。
(3) cosa此特性给我们提供了很好的求长度的方法。
(3) cos
a
此特性给我们提供了很好的求长度的方法。
a b
|a| |b|
(4) |a b | |
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