形式语言与自动机_课件_陈有祺第01章 预备知识.ppt

第一章 预备知识 定理及其证明方法 集合及其基本运算 图和树的简单介绍 字母表，字符串和语言 公理和推理规则 在一个系统中，要证明某个语句为真（合法的）时，需要通过一个语句序列，它们是： 每个语句或者是公理，或者能借助推理规则由一个或多个前面的语句推导出来。 此序列的最后一个语句就是所要证明的语句。 能够加以证明的语句，称为该形式系统的定理。显然，形式系统中的的每个公理都是该系统的定理。 公理和推理规则 例如某形式系统中有公理P,Q和R，还有推理规则： P,Q├ S; (意思是当P和Q皆为真时，则S为真) Q,R├ T；(当Q和R皆为真时，则T为真) R,S,T├ W; ( 当R,S,T皆为真时，则W为真) 若想证明W是定理，则推理过程为： P为真;（因为P是公理） Q为真；（因为Q是公理） R为真；（因为R是公理） S为真；（应用规则（1）） T为真；（应用规则（2）） W为真；（应用规则（3）） 至此证明了W是定理。 常用的证明方法——演绎法 定理1.1 如果x≥4,则 。 证明：将结论变成等价的形式 （1） 对（1）式左边进行微商后， （2） 对（2）式再进行微商后， （3） ln2=0.6971,当x≥4时,（3）式恒为正值，即（2）式中函数当x≥4时为递增函数。而当x=4时，它是大于零的，故当x≥4时，（2）式恒大于零。同理，（1）式的左边当x≥4时为递增函数。且当x=4时，它的值为24-42=0,故当x≥4时，（1）式成立。最后，将（1）式两边减去x2,即可得出结论 常用的证明方法——演绎法 定理1.2 如果x是4个正整数的平方和，则 证明： 命题 理由 (1) 定理的假设 (2) a≥1,b≥1,c≥1,d≥1 定理的假设 (3) 由(2)和算术性质得出 (4) x≥4 由(1),(3) 和算术性质得出 (5) 由(4)和定理1.1得出 常用的证明方法——演绎法 在步骤(1)中,将定理的假设“x是4个正整数的平方和”作为已知。这里给其中4个未命名的量(正整数)分别取名为a，b，c，d，是为了与下面命题的衔接。 在步骤(2)中,继续以命题形式写出定理假设的其余内容，即a，b，c，d 均大于或等于1(因为它们是正整数)。 在步骤(3)中,用到命题(2)作为已知，同时根据最基本的算术性质：如果某个数至少是1，则这个数的平方也至少是1。步骤(4)用到命题(1)和(3)作为已知。命题(1)说,x是所讨论的4个数的平方和；命题(3)说，每个平方数至少是1。根据众所周知的不等式中的代入性质，就得出：x至少是1+1+1+1，即x≥4 。 步骤(5)是最后一步，它首先用到命题(4)，这已经是定理1.1的前题，再用到定理1.1前题和结论的关系。得出本定理的结论。到此为止，定理1.2得以证明。 常用的证明方法——演绎法 定理1.3 设x是实数，则 当且仅当x是整数（这里 代表实 数x的向下取整，即小于或等于x的最大整数； 代表实数x的向上取 整，即大于或等于x的最小整数）。 证明：先证“仅当”部分。设 ，要证x是整数。利用向下取整 和向上取整的定义，知道 ≤x和 ≥x。但是，已知 ，因 此，在第一个不等式中用向上取整代替向下取整，就得到 ≤x。由 于 ≤x和 ≥x同时成立，所以和 =x。即得出x是整数的结论。 再证“当”部分。现在假设x是整数，要证 。这是很明显的。根 据向下取整和向上取整的定义，对于整数x， 和 都等于x，自然 。至此，定理得以证明。 常用的证明方法——反证法 定理1.4 设有牛、羊、猪三种动物共10头，则在这三种 动物中至少一种动物不少于4头。 直接证明： 反证法：首先我们假定结论不成立，即每种动物均不多于 3头，则三种动物总头数不多于9头，这就和假设共有10头 动物相矛盾。定理得证。 常用的证明方法——反证法 定理1.5 是无理数。 反证法证明：假设