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八年级数学下册复习讲义 第十六章 二次根式 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如 数，只有当 是一个非负数时，  的式子叫二次根式，其中 才有意义．  叫被开方 【典型例题】 题型一：二次根式的判定 【例 1】下列各式 1） 1 , 2) 5,3) x2 2, 4) 4,5) ( 1 )2 ,6) 1 a ,7) a 2 2a 1 ， 5 3 其中是二次根式的是 _________（填序号）． 题型二：二次根式有意义 【例  2】若式子  1 有意义，则  x 的取值范围是  ． x 3 题型三：二次根式定义的运用 【例 3】若 y= x 5 + 5 x +2009，则 x+y= . 题型四：二次根式的整数与小数部分 已知  a 是  5 整数部分，  b 是  5 的小数部分，求  a  1  的值 . b 2 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 非负性： a( a 0) 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． ( a)2 a(a 0) ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任 意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a ( a) 2 (a 0) a2 |a|a(a 0) a(a 0) 注意：（1）字母不一定是正数． 2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根 代替． 3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 4. 公式 a2 |a| a(a 0) 与 ( a)2 a(a 0) 的区别与联系 a(a 0) （ 1） a2 表示求一个数的平方的算术根， a 的范围是一切实数． （ 2）( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方， a 的范围是非负数． （ 3） a2 和 ( a) 2 的运算结果都是非负的． 【典型例题】 题型一：二次根式的双重非负性 a 2b 3 c 4 2 【例 4】若 0， ． 则 a b c 题型二：二次根式的性质 2 （公式 ( a ) 2 a(a 0) 的运用） 【例 5】 化简： a 1 ( a 3) 2 的结果为（ ） A、4—2a B 、0 C 、2a—4 D 、4 题型三：二次根式的性质 3 （公式 a 2 a a(a 0) 的应用） a(a 0) 【例 6】已知 x 2 , 则化简 x2 4x 4 的结果是（ ） A、 x 2 B 、 x 2 C、 x 2 D、 2 x 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： 1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式） ： 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个 二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例  7】在根式  1)  a 2  b2 ;2)  x ;3)  x2  xy;4) 27abc ，最简二次根式是（  ） 5 A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化 . 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式： 利用 a a a 来确定，如： b 与 a b 等分别互为有理化因式。 a  a与  a ，  a  b与  a  b ， ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 a b 与 a b ， b与 ab ， a x b y与 a x b y 分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因 式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或 有理式。 【典型例题】 【例 8】 把下列各式分母有理化 （1） 1 （2） 4 3 （3） 1 1 （4） 1 3 48 3 7 2 12 5 50 【例 9】把下列各式分母有理化 （1） 2x （2） 2 （3） x 8 （ 4） a2 b5 8x3 y a b x3 b 2 a5 【例 10】把下列各式分母有理化： （1） 2 （2） 5 3 （3） 3 3 2 1 5 3 3 2 2 3 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ① 与 ； ② 与 ； ③ 与 ； ④ 与 ． 知识点五：二次根式计算——二次根式的