《《菱形的性质与判定》典型例题》.docxVIP

〈〈菱形的性质与判定》典型例题 例1如图，在菱形 ABCN, E是AB的中点，且DE AB, AB a,求: E B （1） ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD勺面积. AD 于 F.例2 已知：如图，在菱形 ABCN, CE AB AD 于 F. 求证：AE AF.例3 求证：AE AF. 例3 已知：如图，菱形 ABCD中，E, F分别是 BC, CD上的一点, D EAF 60 , BAE 18，求 CEF 的度数. 例4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD DF . 求证：GH垂直平分CF . 例 5 如图，O| ABCD中，AD 2AB , E、F在直线CD上，且 DE CD CF . 求证：BE AF . 如图，在Rt △ ABC中，ACB 90 , E为AB的中点，四边形BCDE 是平行四边形. 求证：AC与DE互相垂直平■分 例1分析 (1)由E为AB的中点，DE AB,可知DE是AB的垂直平■分线， 从而AD DB ,且AD AB，则 ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以 求出.(2)而AC BD, AO OC ,利用勾股定理可以求出 AC. (3)由菱形的对 角线互相垂直，可知S 1 AC BD. 2 解 (1)连结BD 四边形ABCtM菱形，AD AB. E是AB的中点，且DE AB,二AD DB. ABD是等边三角形，二 DBC也是等边三角形. ABC 60 2 120 . 四边形ABC呢菱形，AC与BD互相垂直平■分， TOC \o "1-5" \h \z _ 1 1 1 ??- OB -BD - AB -a. 2 2 2 ?,- OA Jab2 OB2 j'a2 (1a)2 技a , . . AC 2AO 43a. , 2 2 菱形 ABCD勺面积 S 1AC BD 1 <3a a ^a2. 2 2 2 说明：本题中的菱形有一个内角是 60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点， 通过解题应该逐步认识这些特点. 例2 分析 要证明AE AF，可以先证明BE DF ,而根据菱形的有关性质 不难证明 BCE DCF ,从而可以证得本题的结论. 证明 ..?四边形 ABCD是菱形，BC CD, B D，且 BEC DFC 90 , BCE DCF ,二 BE DF , AB AD , ??? AB BE AD DF , AE AF. 例3解答：连结AC ?.?四边形ABC叫菱形， B D 60 , AB BC CD AD . ??? ABC与CDA为等边三角形. ? ?? AB AC, B ACD BAC 60 .? EAF 60 , ??? BAE CAF ??? ABE ACF AE AF .. EAF 60 , EAF为等边三角形. ??? AEF 60 .? AEC B BAE AEF CEF , 60 18 60 CEF ??? CEF 18 说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC,证 ABE ACF 例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平 分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明 GH垂直平分CF . 证明：.??四边形ABCD、BEDF都是长方形 ??? DE//BF , AB//CD , DFH BCD 90 , AD BC 四边形BGDH是平行四边形 .? AD DF , DF BC 在/\ DFH 和/\ BCH 中 DFH BCH DHF BHC DF BC . DFH BCH DH BH , HF HC ..?四边形BGDH是平行四边形 四边形BGDH是菱形 ??? GH 平分 BHD 二 GH 平分 FHC v HF HC GH垂直平分FC . 例5 分析 要证BE AF，关键是要证明四边形 ABHG是菱形，然后利用菱 形的性质证明结论. 证明..?四边形ABCD是平■行四边形 AB//CD , AB CD , AG//BH,二 1 E .? CD ED , AB ED 1 E 在/\ ABG 和^ EDG 中 2 3 . ABG^X DEG AG GD .. AD 2AB AG AB 同理：AB BH 二 AG BH .. AG//BH 四边形ABHG是平■行四边形 AB BH 二四边形ABHG是菱形 ??? AF BE . 例6分析 要证明AC与DE互相垂直平■分，只要证明四边形ADCE是菱形.所 以要连结AD 证明 ?.?在Rt △ ABC中，E为AB的中点 ??? AE CE BE ..?四边形BCDE是平■行四边形 ??? CD // AB , CD BE ??? CD//AE , 四边形ABCE是平■行四边形 AE EC ..口 ADCE是菱形 二AC与DE互相垂直平