层次分析法的详细步骤.docx

层次分析方法 问题1 厂领导正在考虑如何合理地使用企业留成的利润。 在决策某工厂在扩大企业自主权后, 厂领导正在考虑如何合理地使用企业留成的利润。 在决策 时需要考虑的因素主要有 调动职工劳动生产积极性； 提高职工文化水平； 改善职工物质文化生活状况。 请你对这些因素的重要性进行排序，以供厂领导作参考。 分析和试探求解 这个问题涉及到多个因素的综合比较。 由于不存在定量的指标，单凭个人的主观判断虽 然可以比较两个因素的相对优劣， 但往往很难给出一个比较客观的多因素优劣次序。 为了解 决这个问题，我们能不能把复杂的多因素综合比较问题转化为简单的两因素相对比较问题 呢？运筹学家想出了一个好办法： 首先找出所有两两比较的结果， 并且把它们定量化； 然后 再运用适当的数学方法从所有两两相对比较的结果之中求出多因素综合比较的结果。 具体操 作过程如下： 1)进行两两相对比较，并把比较的结果定量化。 首先我们把各个因素标记为 Bi：调动职工劳动生产积极性； B2：提高职工文化水平； B3：改善职工物质文化生活状况。根据心理学的研究，在进行定性的成对比较时，人们头脑 中通常有5种明显的等级：相同、稍强、强、明显强、绝对强。因此我们可以按照下表用 1 9尺度来定量化。 定性结果 定量结果 Bi与Bj的影响相同 Bi : Bj = 1:1 Bi比Bj的影响稍强 Bi : Bj = 3:1 Bi比Bj的影响强 Bi : Bj = 5:1 Bi比Bj的影响明显强 Bi : Bj = 7:1 Bi比Bj的影响绝对强 Bi : Bj = 9:1 Bi与Bj的影响在上述两个等级之间 Bi : Bj = 2,4,6,8:1 Bi与Bj的影响和上述情况相反 Bi : Bj = 1:1,2,…,9 假定各因素重要性之间的相对关系为： B2比B1的影响强，B3比B1的影响稍强，B2比B3 的影响稍强，则两两相对比较的定量结果如下： B1: B1 1:1; B1: B2 1:5; B1: B3 1:3 B2: B1 5:1; B2 B2 1:1; B2: B3 3:1 B3: B1 3:1; B3: B2 1:3; B3: B3 1:1 为了便于数学处理，我们通常把上面的结果写成如下矩阵形式，称为成对比较矩阵。 B1 B2 B3 B1 1 1/5 1/ 3 1 (1) B2 5 1 3 B3 3 1/ 3 1 2) 综合排序 为了进行合理的综合排序， 我们把各因素的重要性与物体的重量进行类比。 设有 n 件物 体：A1, A2,…,An，它们的重量分别为： W1, W2,…,Wn。若将它们两两相互比较重量，其 比值(相对重量)可构成一个n x n成对比较矩阵 a1,1 a1,2 L a1,n W1 /W1 W1 /W2 L W1 /Wn a2,1 a2,2 L a2,n W2 /W1 W2 /W2 L W2 /Wn A L (2) L L L L L L L an,1 an,2 L an,n Wn /W1 Wn /W2 L Wn /Wn 经过仔细观察，我们发现成对比较矩阵的各行之和恰好与重量向量 W = (wi, W2,…,Wn)T成 正比，即 W1 a1,j W2 n a2, j (3) M j 1 M Wn an,j 根据类比性，我们猜想因素的重要性向量与成对比较矩阵 (1)之间也有同样的关系存在。 由此，我们可以得到因素的重要性向量为 W1 1 1/ 5 1/ 3 23/15 W W2 5 1 3 9 (4) W3 3 1/ 3 1 13/ 3 1 (这个过) 1 (这个过 ) ，这样就 TOC \o 1-5 \h \z w1 0.103 W w2 0.606 (5) w3 0.291 上式中元素的权重大小给出了各因素重要性的综合排序。 对(2)式的进一步分析还可以发现 a1,1 a1,2 L a1,n w w a? 1 a2, 2 L a2,n w w2 nW AW , n ⑹ L L L L L L an, 1 an,2 L an,n Wn Wn TOC \o 1-5 \h \z 这说明 W还是成对比较矩阵 A的特征向量，对应的特征值为 n,理论上已严格地证明了 n 是A的唯一最大特征值。按类比法，我们也可以用求解特征方程的办法来得到重要性向量。 由此可以解出其最大特征值为与(1)式对应的特征方程为 由此可以解出其最大特征值为 1 1/5 1/3 w1 W1 5 1 3 w2 n w2 ⑺ 3 1/3 1 W3 W3 n3.038，对应的特征向量为: (8)W = (0.105, 0.537, 0.258) (8) 致性检验 既然存在误差，我们就需要知道误差的程度到底有多大？会不会影响综合排序的结果？ 理论上已经证明：对于具有一致性的成对比较矩