数字巴特沃斯滤波器 19[文字可编辑].ppt

数字巴特沃斯滤波器 Digital Butterworth Filter Lesson 19 复习提问 ? 数字滤波器设计的三大步骤？ ? 冲激响应不变法的设计思想是？ ? 冲激响应不变法哪个频段失真较大，为什么？ 它适用于设计哪种滤波器？ ? 冲激响应不变法适合哪种类型的系统函数？ ? 冲激响应不变法的稳定性如何？ 巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter ? 巴特沃斯滤波器设计公式、步骤 ? 冲激响应不变法设计数字巴特沃斯滤波器 ? 双线性变换法设计数字巴特沃斯滤波器 设计公式 巴特沃斯 (Butterworth) 滤波器都幅度响应 在通带内具有 最平坦的特性 ，且在通带和阻带内幅度特性是 单调变化 的。模拟巴特沃斯滤波器的 幅度平方函数 为 ? ? ? ? N c a j H 2 2 / 1 1 ? ? ? ? ? 幅度特性 707 . 0 c ? 如下图所示为 Butterworth 滤波器的 幅度特性 ，其中 为 角频率，在 处幅度响应的平方为 0.5 ， N 为滤波器的阶 数，当 时，幅度响应为 1 。 ? c ? 0 ? ? ? ? ? j H a 幅度特性 从式子和图都可以看出，随着 N 的增大 ，幅度响应曲线在 截止频率附近变得 越来越陡峭 ，即在通带内有更大部分的 幅度接近于 1 ，在阻带内以更快的速度下降至零。 Butterworth 滤波器存在 极点 ，而 零点 在 ? ? ? 幅度特性 ? 现在来分析 Butterworth 滤波器极点的分布特点。如果 用 s 代替 ，即经解析延拓，得到 由此得到极点 ? j ? ? ? ? ? ? N c a a j s s H s H 2 / 1 1 ? ? ? ? 1 2 , , 2 , 1 , 0 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N k e s N k N j c k ? ， ? ? ? 由此看出，巴特沃斯滤波器的 极点分布特点 ：在 s 平 面上共有 2N 个极点 等角距 地分布在半经为 的圆周 上． c ? 极点分布 这些极点 对称于虚轴 ，而 虚轴上无极点 ； N 为 奇数 时，实轴 上有两个极点； N 为偶数时，实轴上无极点；各个极点间的 角度为 。图示为 N=3 时各极点的分布情况。 N / ? 3 ? c ? c ? ? 用极点构建系统函数 知道巴特沃斯滤波器的极点分布后，便可以由 s 平面 左半平面的极点 构成系统函数 ，根据极点分布， 可以得到 上式中， ? 是 s 平面左半平面的极点， ? 是右半平面的极点， ? A 和 B 都为常数 。 ? ? s H a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N r r N k k N c a a s s B s s A j s s H s H 1 1 2 / 1 1 k s r s 用极点构建系统函数 Butterworth 滤波器有 2N 个极点，且 对称于虚轴 ，所以可 将左半平面的极点分配给 ，以便得到一个 稳定的 系统， 把右半平面的极点分配给 ， 不是所需要的， 可以不管它，于是有巴特沃斯滤波器系统函数： ? ? s H a ? ? s H a ? ? ? s H a ? ? ? ? ? 1 a N k k A H s s s ? ? ? ? 用极点构建系统函数 ? Ａ值的确定 N 为偶数， A 由滤波器在 处的 单位冲激响应 来确 定，即 于是得到 N 为奇数可得到一样的结果。 0 ? ? ? ? ? ? 1 0 2 / 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? N k k k N k k a s s A s s A H N c N k c N k k k s s A ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 / 1 2 2 / 1 用极点构建系统函数 ? Ｎ为偶数 时，模拟 Butterworth 滤波器的系统函数为 式中，