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2014 年全国高中数学联赛模拟卷 (1)加试
(考试时间： 150 分钟 满分： 180 分)
姓名： _____________考试号： ______________得分： ____________
一、 （本题满分 40 分）
C
在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，记 I , I , I 分
1 2
别是△ ADC , △ BCD ,△ABC 的内心， I 在 AB 边上的射 P
影为 O ， CAB , ABC 的角平分线分别交 BC , AC 于 Q
1 I
P, Q ，且 PQ 的连线与 CD 相交于 O ，求证：四边形
2 I 2
I O I O 为正方形． I 1
1 1 2 2 A B
D O 1
二、 （本题满分 40 分） 给定正数 a, b, c, d, 证明：
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c b c d c d a d a b 2 2 2 2
a b c d .
a b c b c d c d a d a b
2k
nAn 2( n 1)
三、 （本题满分 50 分） 设 k N ，定义 A1 1 ， An 1 ， n 1,2,
n 2
证明：当 n 1时， A 为整数，且 A 为奇数的充要条件是 n 1或2(mod 4)
n n
四、（本题满分 50 分） 试求最小的正整数 n, 使得对于任何
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