2017-2018期末随机过程试题及答案.docx

共 共6页第1页 共6页第 PAGE #页 1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式:P(BC A)=P(B A)P(C AB) C 1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB) C TOC \o 1-5 \h \z 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 。 2?设随机过程X(t)=Acos( t+G),rvt::其中为正常数，A和门是相互独 立的随机变量，且A和门服从在区间∣0,11上的均匀分布，则X(t)的数学期望 为 。 3.强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 _ 的同一指数分布。 4?设:Wn)是与泊松过程fX(t),t 一 0?对应的一个等待时间序列，则 Wn服 从 分布。 2.设｛X(t), t_0｝ 2.设｛X(t), t_0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是一个马尔科夫 过程。 Γ 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3, 如果t时取得红球，则这个随机过 (et, 如果t时取得白球 TOC \o 1-5 \h \z 程的状态空间 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(Pij)，n步转移矩阵Pg=(P(；)),二者之间 的关系为 。 7?设CXn)n -0?为马氏链，状态空间I ,初始概率Pi= P(X°=i),绝对概率 Pj(n) =P「Xn =j?，n步转移概率Pjn),三者之间的关系为 。 8 .设｛X(t),t 一 0｝是泊松过程，且对于任意t2 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = t 9 ?更新方程K t =H^OK^SdFS解的一般形式为 C 10?记亠-EXn)对一切 a—0,当t—：时，M t+a -M t 设］Xn)n — 0为马尔科夫链，状态空间为I ,则对任意整数n — 0,仁IVn和 i,j I , n步转移概率Pjn)=V Pfk)Pkn-I),称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程, 底I 证明并说明其意义 得分 评卷人 、证明题(本大题共 4道小题，每题8分，共32分) 共 共6页第 PAGE #页 共6页第4页 4.设〈N(t),t_O?是强度为，的泊松过程，fYk,k=1,2,∣∣∣［是一列独立同分布随机变 N(t) 量，且与 {N(t),t A0}独立，令 X(t)= E Yk,t3O ,证明：若 E(Y12S),则 k=1  2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2分钟内到达的顾 客不超过3人的概率。 E X(t)丨-■ tE:Y1 ? 得分 评卷人 计算题(本大题共 4道小题，每题8分，共32分) 1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为 1/3 2/3 0 P = 1/3 0 2/3 ，求其平稳分布 0 1/3 2/3, 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨 而明天也下雨的概率为〉，而今天无雨明天有雨的概率为：；规定有雨天气为 状态0，无雨天气为状态1。设〉=0.7^ = 0.4 ,求今天有雨且第四天仍有雨的 概率。 共 共6页第 PAGE #页 共6页第6页 得分 评卷人 四、简答题(本题6分) 简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系 12 12 14 O- 12 12 14 O- = P 设有四个状态I= ?,1,2,3?的马氏链，它的一步转移概率矩阵 TOC \o 1-5 \h \z 2 0 0 % 0 0 14 % % 0 0 1 画出状态转移图； 对状态进行分类； 对状态空间I进行分解。 共 共6页第7页 共6页第 PAGE #页 Pr = P「X(n)=j X(O)=H - P X(n)=j,Qχ(l)=k X(0)=i = 一.填空题 r (et 1) 1 1 1.为 e 。 2. _-(Sin(⑷t+1)-sin ?t)。3. _ — 2 4,二 5 . _ U 2t,H|;e,e2|Il。6 . P(n)= Pn。 7 . Pj(n)八 Pi Py Q 3 J 旧 Ota 8. 18e 9。K(t)=H(t)+j0K(t—SdM (S) 10. - 二.证明题 1. 证明：左边=P(ABC) =P(ABC^P(AB) =P(CAB)P(B A)=右边 P(A) P(AB) P(A) 2. 证明：当 0 . t1 讥2 ：：： IH tn t 时， P(X(t) -X X(tJ=X1,X(t 2)=χ2,∣∣∣X(tn)=Xn) = P(X(t)-X(t n^X-Xn X(t1)-X(0)=X 1,X(t 2)-X(0)=X 2JHX(tn)-X(0)=X n )= P(X(t)-X(t nPX-Xn)