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共边定理的应用
?
我们在上一期引入了共边定理,并对共边定理的应用进行了举例说明。接下来我们将给出更多的例子,你会发现难题并不一定非要用复杂的方法才能解决。共边定理看似平凡,但只要运用得当,也会成为解题的利器。我们先来回顾一下这个定理。
共边定理??若直线AB和PQ相交于点M(如图1,有四种情形),则有:。
??例1.如图2,已知的面积是1,AF=2FC,BD=DE=EC。求四边形GDEH的面积。
解:四边形GDEH不是规则四边形,不能直接求其面积,可先求出,相减即得。
由共边定理,,得。
由共边定理,,得。
所以。
?
??例2.如图3,的面积等于25,AE=ED,BD=2DC,则的面积之和等于_________,四边形CDEF的面积等于______。
解:利用共边定理,,
?
??例3.?如图4,中,CA。连接AE、BF、CD,围成。问:的面积是的面积的几分之几?
解:由(由共边定理,,),得。
同理可得。所以
。
?
??例4.如图5,三条交于一点的直线把分成6个小三角形。已知其中4个小三角形的面积,如图上所标。求的面积。
解:根据共边定理,我们可以列出方程组(比如,,而由共边定理知等于AO分BC的两部分的长的比。这个比等于(两个等高三角形)):
从中选出容易计算的,如①和③,联立解得。
所以,。
对于例4,虽然使用共边定理能够轻松解答,但我们不能就此放过它。有必要进一步思考:为什么列出的三个方程,有一个竟然可以不用呢?是不是题目本身有什么问题?
假设我们将84,40,30,35这四个数中的一个换成z,譬如将84换成z,那么方程组就有三个方程,三个未知数,也是可以求解的,但计算的难度就要增加不少了。
由以上分析可以知道,如果我们已知6个小三角形中其中3个的面积,就可以求出其余3个小三角形的面积。那么我们可以判定例4有多余的条件,这多余的条件带来的好处就是使题目的难度降低了。
本文的例4给予我们一个启示:对于较简单的题目,我们解答完成后,不要轻易丢弃,要做进一步思考,这样就可能得到更一般的结论,甚至还能发现题目中的漏洞。这对于提高我们的解题能力会大有裨益。
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