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已知，如图，三角形 ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB=90° ，F 是 AB 的中点，直线 l 经过点
C，分别过点 A 、 B 作 l 的垂线，即 AD ⊥CE， BE⊥CE，
（1）如图 1，当 CE 位于点 F 的右侧时，求证： △ADC ≌△ CEB ；
（2 ）如图 2，当 CE 位于点 F 的左侧时，求证： ED=BE-AD ；
（3 ）如图 3，当 CE 在 △ABC 的外部时，试猜想 ED 、AD 、 BE 之间的数量关系，并证明你
的猜想．
3 ．（1）如图，在 △ABC 和 △ADE 中， AB=AC ，AD=AE ，∠BAC= ∠DAE=90 °．
①当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜
想的结论；
②将图 1 中的 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 α角（ 0°＜ α＜90 °），如图 2，线段 BD、CE 有怎样的
数量关系和位置关系？请说明理由．
（2 ）当 △ABC 和 △ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD 、CE 在（ 1）中的
位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB ：AC=AD ：AE=1 ，∠BAC= ∠DAE ≠90 °；
乙： AB ：AC=AD ：AE ≠1，∠BAC= ∠DAE=90 °；
丙： AB ：AC=AD ：AE ≠1，∠BAC= ∠DAE ≠90 °．
解 解： （1）①结论： BD=CE ， BD ⊥CE ；
答： ②结论： BD=CE ， BD ⊥CE…1 分
理由如下：∵ ∠BAC= ∠DAE=90 °
∴∠BAC ﹣∠DAC= ∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD= ∠CAE …1 分
在 △ABD 与 △ACE 中，
∵
∴△ABD ≌△ACE （SAS ）
∴BD=CE …1 分
延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H．
在 △ABF 与△HCF 中，
∵∠ABF= ∠HCF ，∠AFB= ∠HFC
∴∠CHF= ∠BAF=90 °
∴BD ⊥CE …3 分
（2 ）结论：乙． AB ：AC=AD ：AE ，∠BAC= ∠DAE=90 °…2 分
解答： （1）证明：∵ AD ⊥CE， BE⊥CE，
∴∠ADC= ∠CEB=90° ．
∵∠ACD+ ∠ECB=90° ，∠ CAD+ ∠ACD=90° ，
∴∠ CAD= ∠ BCE （同角的余角相等） ．
在△ADC 与 △CEB 中
∠ADC= ∠CEB ∠CAD= ∠BCE AC=BC ，
∴△ADC ≌△ CEB （AAS ）．
（2 ）证明：∵ AD ⊥CE， BE ⊥CE ，
∴∠ADC= ∠CEB=90° ．
∵∠ACD+ ∠ECB=90° ，∠ CAD+ ∠ACD=90° ，
∴∠ CAD= ∠ BCE （同角的余角相等） ．
在△ADC 与 △CEB 中
∠ADC= ∠CEB ∠CAD= ∠BCE AC=BC ，
∴△ADC ≌△ CEB （AAS ）．
∴DC=BE ，AD=CE ．
又∵ ED=CD-CE ，
∴ED=BE-AD ．
（3 ）ED=AD+BE ．
证明：∵ AD ⊥ CE， BE ⊥CE，
∴∠ADC= ∠CEB=90° ．
∵∠ACD+ ∠ECB=90° ，∠ CAD+ ∠ACD=90° ，
∴∠ CAD= ∠ BCE （同角的余角相等） ．
在△ADC 与 △CEB 中
∠ADC= ∠CEB ∠CAD= ∠BCE AC=BC ，
∴△ADC ≌△ CEB （AAS ）．
∴DC=BE ，AD=CE ．
又∵ ED=CE+DC ，
∴ED=AD+BE ．
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