初中几何辅助线大全(最全版).docx

??? ? ? ? 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图 7-1：已知 AC＝BD，AD⊥AC 于 A ，BC⊥BD 于 B，  求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD， △AOD 与△BOC，△ABD 与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设 法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）  E 在△DBE 与△CAE 中 ??E??E (公共角) ∵ ??DBE ??CAE (已证) BD ?AC (已知)  A D  O 图7 ?1  B  C ∴eq \o\ac(△,≌)DBE △CAE  （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图 9-1：在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD 的延长于 E 。 求证：BD＝2CE 分析：要证 BD＝2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE 与 ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 F 证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。  A  E ∵BE⊥CF （已知）  D ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）  在△BEF 与△BEC 中， B C 图9 ?1 ???? ? ? ? ? ??1??2(已知) ∵ ? ? BE ?BE (公共边 ) ?BEF ??BEC (已证) ∴eq \o\ac(△,≌)BEF △BEC（ASA）∴CE=FE=   CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 ??BAC ??CAF (已证) ??BDA ??BFC (已证) ? ? AB＝AC (已知) ∴eq \o\ac(△,≌)ABD △ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图 11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由 AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有△ABN ≌eq \o\ac(△,，)DCN 故 BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有△NBM≌eq \o\ac(△,，)NCM 所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。 证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM， eq \o\ac(△,在)ABN 和△DCN ?AN ?DN (辅助线的作法 ) 中 ∵ ??A??D (已知) ? AB ?DC (已知) ? ∴eq \o\ac(△,≌)ABN △DCN （SAS） ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等） 在△NBM 与△NCM 中 NB＝NC (已证) ? ? ∵ BM＝CM (辅助线的作法) ? ? NM＝NM (公共边) ? N A B M 图11 ?1 D  C ∴△ NMB ≌△NCM，(SSS) ∴∠ NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠ NBC ＋∠ ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。 巧求三角形中线段的比值 例 1. 如图 1，在△ABC 中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求 AF：FC。 解：过点 D 作 DG//AC，交 BF 于点 G 所以 DG：FC＝BD：BC 因为 BD：DC＝1：3  所以 BD：BC＝1：4 即 DG：FC＝1：4，FC＝4DG 因为 DG：AF＝DE：AE 所以 DG：AF＝3：2  又因为 AE：ED＝2：3 即  所 以 AF：FC＝ 例 2. 如图 2，BC＝CD，AF＝FC，求 EF：FD  ：4DG＝1：6 解：过点 C 作 CG//DE 交 AB 于点 G，则有 EF：GC＝AF：AC 因为 AF＝FC  所以 AF：AC＝1：2 即 EF：GC＝1：2， 因为 CG：DE＝BC：BD  又因为 BC＝CD 所以 BC：BD＝1：