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精品文档 《复数》知识点总结 1、复数的概念 形如?a???bi(a,?b???R)?的数叫做复数，其中i?叫做虚数单位，满足i?2????1?，?a?叫做复数的 实部，?b?叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数?z???a???bi?，当?a???0且b???0?时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：?a???bi,?c???di(a、b、c、d???R)?相等的充要条件是?a???c且b=d?. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点 为虚轴. (4)复数的模：复数?z???a???bi?可以用复平面内的点?Z(a,?b)?表示，向量?OZ?的模叫做复数 z???a???bi?的模，表示为：?|?z?|?|?a???bi?|??a2???b2 .（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数 . 2、复数的四则运算 （1）加减运算：?(a???bi)???(c???di)???(a???c)???(b???d?)i?； （2）乘法运算：?(a???bi)???(c???di)???(ac???bd?)???(ad???bc)i?； （3）除法运算：?(a???bi)???(c???di)?? (ac???bd?)??(bc???ad?) ? c2???d?2???c2???d?2  i(c???di???0)?； （4）?i?的幂运算：?i?4n???1?，?i?4n?1???i?，?i?4n?2????1?，?i?4n?3????i?.?(n???Z?) （5）?z?z??|?z?|2??|?z?|2 3、?规律方法总结 （1）对于复数?z???a???bi(a,?b???R)?必须强调?a,?b?均为实数，方可得出实部为?a?，虚部为?b （2）复数?z???a???bi(?a,?b???R)?是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要 条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z???a???bi(a,?b???R)?，既要从 整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识 （3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分， 但却有相等与不等之分. （4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、 关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 精品文档 z精品文档 z 1、基本概念计算类 例?1．若?z???a???2i,?z???3???4i,?且?z 1 2  1?为纯虚数，则实数?a?的值为_________ 2 解：因为，?z z  1?＝ 2 a???2i??(a???2i)(3???4i)??3a???6i???4ia???8??3a???8???(6???4a)i ???????????????????????????????? 3???4i??(3???4i)(3???4i)???????25?????????????25  ， 又?z?1?为纯虚数，所以，3a－8＝0，且?6＋4a???0。??a?? z 2 2、复数方程问题 8 3 例?2．证明：在复数范围内，方程|?z?|2??(1???i)?z?? 5???5i 2???i  （i?为虚数单位）无解 证明：原方程化简为?|?z?|??(1???i)?z???(1???i)?z???1???3i,?设?z＝x＋yi(x、y??R?)，代入上述方程 ?x?2???y?2???1 得?x?2???y?2???2?xi???2?yi???1???3i.? 整理得?8x?2???12?x???5???0 ?2?x???2?y???3 ?????16???0.?方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。 3、综合类 例?3．设?z?是虚数，?????z???1 z  是实数，且－1???2 （1）?求|z|的值及?z?的实部的取值范围； （2）?设?M???1???z 1???z  ，求证：M?为纯虚数； （3）?求?????M?2?的最小值。 解：（1）设?z＝a＋bi（a，b??R,?b???0?） ????a???bi?? 1??????????a???????????b ??(a???)???(b????????)i,??因为，???是实数，?b???0 a???bi??????a?2???b?2?a?2???b?2 1 所以，?a?2???b?2???1?，即|z|＝1，?因为???＝2a，－1???2，?? ??a???1 2 1 所以，z?的实部的取值范围（－ ,1?） 2 1???z 1???a???bi (1?