第2章随机过程习题与答案.docxVIP

第二章 随机过程分析 1.1?学习指导 1.1.1?要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、 通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1.?随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不 同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2.?随机过程的分布函数和概率密度函数 如果?ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻?t?取值?ξ(t?)是一个随机变量。ξ(t?)小于或等于某 1 1 1 一数值?x?的概率为?P[?ξ(t?)?≤?x?]，随机过程?ξ(t)的一维分布函数为 1 1 1 F?(x?,?t?)?=?P[ξ(t?)?≤?x?] (2-1) 1 1 1 1 1 如果?F?(x?,?t?)的偏导数存在，则?ξ(t)的一维概率密度函数为 1 1 1 ?F?(?x?,?t?) 1 1 1 ?x 1  ??f?(x?,?t?)???????????????(2?-?2) 1?1?1 对于任意时刻?t?和?t?，把?ξ(t?)?≤?x?和?ξ(t?)?≤?x?同时成立的概率 1 2 1 1 2 2 F?(?x?,?x?;?t?,?t?)???P?????(t?)???x?,???(t?)???x 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ?????????????????(2?-?3) ?x????x称为随机过程? ?x????x ??2?F?(?x?,?x?;?t?,?t?) 2 1 2 1 2f?(?x?,?x?;?t?,?t?) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 存在，则称?f?(x?,?x?;?t?,?t?)为随机过程?x?(t)的二维概率密度函数。 2 1 2 1 2 对于任意时刻?t?，t?，…，t?，把 1 2 n L LF?(?x?，x?，?，x?；t?，t?，?，t?)???P????(t?)???x?,???(t?)???x?,L?,???(t?)?? L L n 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n ???(2?-?5) ?x??x?L???x1称为随机过程? ?x??x?L???x 1 L L??n?F?(?x?，x?，?，x?；t?，t?，?，t L L L L n 1 2 n 1 2 nf?(?x?，x?，?，x?；t?， L L n 1 2 n 1 2 n n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 存在，则称?f?(x?,?x?,?…,?x?;?t?,?t?,?…,?t?)为随机过程?x?(t)的?n?维概率密度函数。 n 1 2 n 1 2 n 3.?随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程?x?(t)在任意给定时刻?t?的取值?x?(t)是一个随机变量，其均值为 E????(t?)????????xf?(?x,?t?)dx (2?-?7) ?? 其中，f?(x,?t)为?x?(t)的概率密度函数。随机过程?x?(t)的均值是时间的确定函数，记作?a(t)， 1 它表示随机过程?x?(t)的?n?个样本函数曲线的摆动中心。 随机过程?x?(t)的方差的定义如下： [D[??(t?)]???E????(t?)???a(t?)]2? [ 随机过程?x?(t)的方差常记作?σ2(t)。随机过程?x?(t)的方差的另一个常用的公式为 ? ? ? ?D??ξ??t??????E??ξ?2??t????2a??t??ξ??t????a?2 ? ? ? ? ??E[ξ?2?(t?)]???2a??t??E???ξ??t???????a?2?(t?)  (2?-?8) ??E[ξ?2?(t?)]???a?2?(t?)=???? ?? x 2  f?(?x,?t?)dx???a?2?(t?)??????????????????(2?-?9) 1 ??????? 1???2 2???? ??????? 1???2 2? ????? x?x??f?(?x?,?x?;?t?,?t?)dx?dx (2?-?10) ??????????[?x???a(t?)][?x????a(t?)]?f?(?x?,?x?;?t?,?t?)dx?dx (2?-?11) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 离程度。 随机过程?x?(t)的相关函数的定义如下： R(t?,?t?)???E[??(t?)??(t?)] 1 2 1 2 ? 1 2 1 2 1 2 式中，?x?(t?)和?x?(t?)分别是在?t?和?t?时刻观测得到的随机变量。R(t?,?t?)是两个变量?t?和 1 2 1 2 1 2 1 t?的确定函