高中高考不等式经典例题62623.doc

高考不等式经典例题 【例 1】已知 a＞0，a≠1， P＝log a(a3－a＋ 1)，Q＝ loga( a2－ a＋ 1)，试比较 P 与 Q 的大小 . 【解析】 因为 a3－ a＋1－( a2－a＋ 1)＝a2(a－1) ， a＞ 1 时， a3－ a＋1＞a2－a＋1，P ＞Q； 0＜ a＜1 时， a3－a＋1＜a2 －a＋1， P＞ Q； 综上所述， a＞0， a≠1时， P＞ Q. 【变式训练 1】已知 m＝a＋ 1 － 2 1 ，则 m， n 之间的大小关系为 () a－2(a＞2) ，n＝x (x≥2) A.m＜ n B.m＞n C.m≥ n D.m≤n 【解析】 选 C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m＝ a＋ 1 1 2 1 2 ＝ a－ 2＋ ＋ 2≥ 2＋2＝4，而 n＝ x－ ≤ ( )－ ＝ 4. a－ 2 a－ 2 2 【变式训练 2】已知函数 f( x)＝ax2 －c，且－ 4≤ f(1)≤－ 1，－ 1≤f(2)≤5，求 f(3)的取值范围 . 【解析】 由已知－ 4≤f(1)＝a－c≤－ 1，－ 1≤f(2) ＝4a－c≤ 5. f(3)＝ 9a－ c＝γ(a－c)＋μ(4a－c) ， 4 9, 5 , 3 所以 1 8 3 8 f(3)＝－ 3(a－ c)＋3(4a－c) ∈[ － 1,20]. 题型三 开放性问题 【例 3】已知三个不等式：① ab＞ 0；② c＞d；③ bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 a b 成多少个正确命题？ 【解析】 能组成 3 个正确命题 .对不等式②作等价变形 :c＞ d? bc－ad ＞0. ab a b bc－ad ＞0，即①③ ? ②； (1)由 ab＞0，bc＞ ad? ab bc－ ad (2)由 ab＞0， ＞ 0? bc－ad＞0? bc＞ ad，即①② ? ③； ab bc－ad (3)由 bc－ ad＞ 0， ＞0? ab＞0，即②③ ? ①. ab 故可组成 3 个正确命题 . 【例 2】解关于 x 的不等式 mx2＋ (m－2)x－2＞0 (m∈R ). 【解析】 当 m＝ 0 时，原不等式可化为－ 2x－2＞0，即 x＜－ 1； 当 m≠0时，可分为两种情况： 1 (1)m＞ 0 时，方程 mx2 ＋(m－ 2)x－ 2＝0 有两个根， x1＝－ 1， x2＝ 2 . m 2 所以不等式的解集为 { x|x＜－ 1 或 x＞ m} ； (2 )m＜ 0 时，原不等式可化为－ mx2＋ (2－m)x＋2＜0， 2 2 m＋2 其对应方程两根为 x1＝－ 1， x2＝ m， x2－ x1＝ m－( －1)＝ m . 2 ①m＜－ 2 时， m＋2＜ 0， m＜0，所以 x2－ x1＞0， x2＞ x1， 不等式的解集为 { x|－1＜ x＜m} ； ②m＝－ 2 时， x2＝ x1＝－ 1，原不等式可化为 ( x＋1) 2＜ 0，解集为 ?； 2 ③－ 2＜ m＜0 时， x2－x1 ＜0，即 x2＜x1 ，不等式解集为 { x|m＜ x＜－ 1}. 【变式训练 2】解关于 x 的不等式 ax－1＞0. x＋ 1 【解析】 原不等式等价于 (ax－1)( x＋1)＞ 0. 1 当 a＝ 0 时，不等式的解集为 { x|x＜－ 1} ；当 a＞0 时，不等式的解 集为 { x|x＞ a或 x＜－ 1} ； 1 当－ 1＜ a＜0 时，不等式的解集为 { x|a＜x＜－ 1} ；当 a＝－ 1 时，不等式的解集为 ?； 1 当 a＜－ 1 时，不等式的解集为 { x|－1＜ x＜ }. a 【例 3】已知 ax2＋bx＋ c＞0 的解集为 { x|1＜x＜ 3} ，求不等式 cx2 ＋bx＋a＜ 0 的解集 . 【解析】 由于 ax2＋ bx＋c＞0 的解集为 { x|1＜ x＜3} ，因此 a＜ 0， 1 解得 x＜ 或 x＞1. 3 (1)z＝x＋ 2y－ 4 的最大值； (2)z＝x2＋y2 －10y＋25 的最小值； (3)z＝2y＋1 的取值范围 . x＋ 1 【解析】 作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)， B(3,1)，C(7,9). (1)易知直线 x＋2y－ 4＝ z 过点 C 时， z 最大 . 所以 x＝7，y＝ 9 时， z 取最大值 21. (2)z＝x2 ＋(y－ 5)2 表示可行域内任一点 (x，y)到定点 M(0,5)的距离的平方， 过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上， |0－ 5＋2| 2 9 故 z 的最小值是 ( ) ＝ . 2 2 1 y－ (－ 2) 表示可行域内任一点