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韩哥智慧之窗-精品文档
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专题20 从算式到方程
【专题说明】
1.正确理解方程的概念,并掌握方程、等式及算式的区别与联系;
2. 正确理解一元一次方程的概念,并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解;
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【知识点总结】
一、方程的有关概念
1.定义:含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释:
判断一个式子是不是方程,只需看两点:一.是等式;二.是含有未知数.
2.方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
要点诠释:
判断一个数(或一组数)是否是某方程的解,只需看两点:①.它(或它们)是方程中未知数的值;
②将它(或它们)分别代入方程的左边和右边,若左边等于右边,则它们是方程的解,否则不是.
3.解方程:求方程的解的过程叫做解方程.
4.方程的两个特征:(1).方程是等式;(2).方程中必须含有字母(或未知数).
二、一元一次方程的有关概念
定义:只含有一个未知数(元),并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释:
(1)“元”是指未知数,“次”是指未知数的次数,一元一次方程满足条件:
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数.
(2)一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中a≠0,a,b是已知数) .
(3)一元一次方程的最简形式是: ax=b(其中a≠0,a,b是已知数).
三、等式的性质
1.等式的概念:用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2.等式的性质:
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.即: 如果,那么 (c为一个数或一个式子) .
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即:
如果,那么;如果,那么.
要点诠释:
(1)根据等式的两条性质,对等式进行变形,等式两边必须同时进行完全相同的变形;
(2) 等式性质1中,强调的是整式,如果在等式两边同加的不是整式,那么变形后的等式不一定成立,
如x=0中,两边加上得x+,这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时,这个除数不能为零.
【精典例题】
一、方程的概念
1、下列各式哪些是方程?
①3x-2=7; ②4+8=12; ③3x-6;
④2m-3n=0; ⑤3x2-2x-1=0; ⑥x+2≠3;
⑦; ⑧.
【答案与解析】
解:②虽是等式,但不含未知数;③不是等式;⑥表示不等关系,故②、③、⑥均不符合方程的概念.①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义,所以方程有:①、④、⑤、⑦、⑧.
【总结升华】方程的判断必须看两点,一个是等式,二是含有未知数.当然未知数的个数可以是一个,也可以是多个.
2、检验下列各数是不是方程的解.
(1).x=12 (2).
【答案与解析】
解:(1).把x=12分别代入方程的左边和右边,左边,右边.
∵ 左边≠右边,∴ x=12不是方程的解.
(2).把分别代入方程的左边和右边,左边,
右边.∵ 左边=右边,∴ 是方程的解.
【总结升华】检验一个数是不是方程的解,根据方程解的概念,只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边,若两边的值相等,则这个数就是此方程的解,否则不是.
3、下列各式,哪些是等式?哪些是方程?
3a+4;②x+2y=8;③5-3=2;④;⑤y=10;⑥;⑦3y2+y=0;⑧2a2-3a2;
⑨3a<-2a.
【答案与解析】
解:等式有:②③④⑤⑥⑦;方程有:②④⑤⑥⑦.
【总结升华】方程是含有未知数的等式,方程和等式的关系是从属关系,且具有不可逆性,方程一定是等式,但等式不一定是方程,区别在于是否含有未知数.
4、下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( ).
A.2x-1=3 (2,-1) B. (3,-3)
C. (x-1)(x-2)=0 (1,2) D.2(y-2)-1=5 (5,4)
【答案】C.
【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边,使左边=右边的是方程的解,若左边≠右边的,则不是方程的解.
【总结升华】检验一个数是否为方程的解,只要把这个值分别代入方程的左边和右边:若代入后使左边和右边的值相等,则这个数是方程的解;若代入后使方程左右两边的值不相等,则这个数不是方程的解.
二、一元一次方程的相关概念
1、已知方程①;②0.4x=11;③;④y2-4y=3;⑤t=0;⑥x+2y=1.其中是一元一次方程的个数是( )
A.2 B.3
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