2015高考数学第一轮复习立体几何中的向量方法(一)..docxVIP

教师用节配鶯课性 第七节 立体几何中的向量方法（一） 证明空间中的位置关系 主干回颍?本基阖诛 口佈二：?3?给?7復求 口佈 二：?3?给?7 復求 能利川空间向a衣示空阿的点、直如平 面等元素，建立立体图形与空间向量之n 的联系 理解平面的法向曲的立义 I.通过具体的实例、明确用牢间向W解决＜ 体儿何问题的“三步AT 5 ?利用虫线的方向向虽解决两左线平行、垂 肖的问题?利川法向童解决两平1S平行、 垂直的问题?能通过遶择适当的坐标系悴 决简单的立体几何问题 I知识梳理G 1 ?直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 定义：向量a所在直线与/平行或重合,贝IJa叫做啲方向向量; 确定：通常在直线/上任取两点构成的向量. ⑵平面的法向量 ①定义：与平面達亘的向量，称做平面的法向量;②确定：设n ①定义：与平面達亘的向量，称做平面的法向量; 2 ?空间位置关系的向量表示LJ召礼此二“位置关系向量表示直线/必的方 向向量分别为 2 ?空间位置关系的向量表示 LJ召礼此 二“ 位置关系 向量表示 直线/必的方 向向量分别为 儿,n2 02 叫加冲吩入n2 冲2 m丄mo叫?巧0 直线/的方向向 量为n,平面a 的法向量为m Z/7a n 丄 m* ? m=0 LLa n〃m曰尸入m 平面a ,卩的法 向量分别为 n, m a 〃卩 n〃mM m a丄卩 57 -m=0 LJ AintMZ: 3 咖TO AintM二：J 咖 LJ AintM Z: 3 咖T O AintM 二：J 咖 T I思考辨析二 判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)? 直线的方向向量是唯一确定的?() 平面的单位法向量是唯一确定的.() 若两平面的法向量平行，则两平面平行.() 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.() 匸有页c?匚木页【解析】(1) 匸有页c? 匚木页 错误.由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量 不唯一. 正确?由平面平行的转化定理可知. ⑷正确?由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根 据等价命题可知. 答案：⑴X (2) X ⑶# ⑷# I考点自测c=TTi1 ?若直线/的方向向量为a=(l,o,2),平面a的法向量为y in口佈曲；Z 3 八u二(-2,0,-4),则()(A)/〃 a(C) /ca⑻/丄a(D) / I考点自测c = TTi 1 ?若直线/的方向向量为a=(l,o,2),平面a的法向量为 y in 口佈曲 ；Z 3 八 u二(-2,0,-4),则() (A)/〃 a (C) /ca ⑻/丄a (D) /与a斜交 u=-2a,即u II a, ???/丄a. 【解析】选B. Va-(1, 0, 2), u- (-2, 0, -4), 口 4忆才” 二门计I 0 ⑷a=(l, 0,0), n=(—2, 0, 0) ⑻a=(l,3,5), n= (1,0,1) a=(0,2,1), n=(—1, 0, —1) a=(l, —1, 3), n=(0, 3,1) 【解析】选D?若III a, HJa - n-0.经验证知，D满足条件. 口 MKftM/】丄?2?答案：!』2 口 MKftM /】丄?2? 答案：!』2 匸木页 3.若直线人仏的方向向量分别为沪(2 4, -4), b二(-6,9, 6),则直 线/屛2的位置关系是 ? 【解析】由a -b-2 X (-6) +4 x 9+(-4) x 6=0得nlb,从而 口 sirrtn二： 口 sirrtn 二：1 ? 匸言页4 4?若平面a , p的法向量分别为a二(-2, y, 8), b二(TO,-1,-2), 且Q丄卩，则尸 ? 【解析】丁 a丄P , Aa ? b-0, 即20-y-16-0, Ay-4. 答案：4 匚木页 助典钊吏破?通出悟道 考向1空间中的点共线、点共面问题 【典例1】已知E, F, G, H分别是空间四边形ABCDiiAB, BC, CD, DA 的中点，用向量法证明: (1)E, F, G,H四点共面. (2)BD〃 平面 EFGH. 匚皿 D 匚木页 【思路点拨】⑴证明EG = EF+EH,?共面向量定理即可得 到结论；或证明FG II EH,即可得到FG,EH确定一平面，故得四 点共面. (2)证明丽与百共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可. 口 卅ret”二：i 口 卅ret” 二：i? 匸苜页匚） 【规范解答】（1）方法一：???E,F,G,H分别是空间四边形ABCD 各边的中点， ??? FG = EH = -BD. 2 EG = EF+FG = EF+EH, ???E, F, G,H四点共面. ???FG II EH ???FG II EH且FG-EH, 匚有页C? 方法二：??? E,