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三角函数——
正弦定理、余弦定理
模块一 正弦定理
知识点睛
在锐角 中, 、 、 的对边分别是 、 、 .过 作 于 (如图),
结论一: △ABC A B C a b c A AD BC D
AD AD
则sin B ,sin C ,即AD c sin B ,AD b sinC 于是
c b
b c c a a b
c sin B b sin C ,即 .同理有 , .
sin B sinC sin C sin A sin A sin B A
a b c
∴ ……… (※)
sin A sin B sinC
即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.同样地,我们还可以
证明在任意的三角形中,上述结论也成立. B C
D
△ABC C a b c △ABC
结论二:在锐角 中, 、 、 的对边分别是 、 、 .
A B
a b c
的外接圆半径为 ,则 .
R 2R
sin A sin B sinC
证明:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:如图,任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O.
作直径BD 交⊙O 于D.连接DA. ∠DAB=90 度, ∠D= ∠ACB.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 。类似可证其余两个等式。
典型例题
【例1】已知 , , 分别为 的角 , , 的对应边,
a b c △ABC A B C
(1) b c : a c : a b 4 : 5 : 6 ,则sin A : sin B : sinC ;
a b c
(2 )若A 60 °,a 3 ,则 ;
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