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专题训练 锐角三角函数与圆 1 . ( 2015 · 扬州 ) 如图 , 若锐角△ ABC 内接于⊙ O , 点 D 在⊙ O 外 ( 与点 C 在 AB 同 侧 ) , 则下列三个结论:① sin C > sin D ;② cos C > cos D ;③ tan C > tan D 中 , 正确的结论为 ( ) A . ①② B .②③ C .①②③ D .①③ D 2 . 如图 , 已知⊙ O 的两条弦 AC , BD 相交于点 E , ∠ A = 70 ° , ∠ C = 50 ° , 那么 cos ∠ AEB 的值为 ( ) A . 3 B . 3 3 C . 1 2 D . 3 2 C 3 . 如图 , AB 是半圆的直径 , 点 O 为圆心 , OA = 5 , 弦 AC = 8 , OD ⊥ AC , 垂足为 E , 交⊙ O 于 D , 连接 BE. 设∠ BEC = α , 则 sin α 的 值为 ________ . 3 13 13 4 . 如图 , 某小岛受到了污染 , 污染范围可以大致看成是以点 O 为圆心 , AD 长为直径的圆形区域 , 为了测量受污染的圆形区域的直径 , 在对应 ⊙ O 的切线 BD( 点 D 为 切点 ) 上选择相距 300 米的 B , C 两点 , 分别测 得∠ ABD = 30 ° , ∠ ACD = 60 ° , 则直径 AD = _______ 米. ( 结 果精确 到 1 米 , 参考数据: 2 ≈ 1.414 , 3 ≈ 1.732) 260 5 . 如图 , 在直角坐标系中 , 四边形 OABC 是梯形 , BC ∥ OA , ⊙ P 分别与 OA , OC , BC 相切于点 E , D , B , 与 AB 交于点 F , 已知 A(2 , 0) , B(1 , 2) , 则∠ FDE 的正切值为 ____ . 1 2 6 . 如图 , PA , PB 是⊙ O 的两条切线 , 切点分别为 A , B , OP 交 AB 于点 C , OP = 13 , sin ∠ APC = 5 13 . (1) 求⊙ O 的半径; (2) 求弦 AB 的长. 解: (1) ∵ PA , PB 是⊙ O 的两条切线 , ∴∠ OAP = 90 ° , ∵ sin ∠ APO = 5 13 , OP = 13 , ∴ OA = 5 , 即所求半径为 5 (2) Rt △ OAP 中 , AP = 12 , ∵ PA , PB 是⊙ O 的两条切线 , ∴ PA = PB , ∠ APO =∠ BPO , ∴ AC = BC = 1 2 AB , PC ⊥ AB , ∵ sin ∠ APC = 5 13 , ∴ AC = 60 13 , ∴ AB = 2AC = 120 13 7 . 如图 , BC 是⊙ O 的直径 , A 是⊙ O 上一点 , 过点 C 作⊙ O 的切线 , 交 BA 的延长线于点 D , 取 CD 的中点 E , AE 的延长线与 BC 的延长线 交于点 P. (1) 求证: AP 是⊙ O 的切线; (2) 若 OC = CP , AB = 6 , 求 CD 的长. 解: (1) 连接 AO , AC , ∵ BC 是⊙ O 的直径 , ∴∠ BAC =∠ CAD = 90 ° , ∵ E 是 CD 的中点 , ∴ CE = DE = AE , ∴∠ ECA =∠ EAC , ∵ OA = OC , ∴ ∠ OAC =∠ OCA , ∵ CD 是⊙ O 的切线 , ∴ CD ⊥ OC , ∴∠ ECA +∠ OCA = 90 ° , ∴∠ EAC +∠ OAC = 90 ° , ∴ OA ⊥ AP , ∴ AP 是⊙ O 的切线 (2) 由 (1) 知 OA ⊥ AP , 在 Rt △ OAP 中 , ∵ OC = CP = OA , ∴ OP = 2OA , ∴ sin P = OA OP = 1 2 , ∴∠ P = 30 ° , ∴∠ AOP = 60 ° , ∵ OC = OA , ∴∠ ACO = 60 ° , 在 Rt △ BAC 中 , AC = AB tan ∠ ACO = 2 3 , 又∵在 Rt △ ACD 中 , ∠ ACD = 90 °-∠ ACO = 30 ° , ∴ CD = AC cos ∠ ACD = 2 3 3 2 = 4 8 . 如图 , ⊙ O 中 , 直径 CD ⊥ AB 于 E , AF ⊥ BD 于 F , AF 的延长线交 CD 的延长线于 H , 连接 AC. (1) 求证: AC = AH ; (2)
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